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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算学案
展开实数指数幂及其运算
通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. |
| 新知初探·自主学习——突出基础性 |
知识点一 n次方根及根式的概念
1.a的n次方根的定义
如果______________,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时,a的n次方根表示为__________________,a∈____________.
(2)当n是偶数时,a的n次方根表示为______________,其中________表示a的负的n次方根,a∈________.
3.根式
式子____________叫做根式,这里n叫做__________,a叫做__________.
状元随笔 根式的概念中要求n>1,且n∈N*.
知识点二 根式的性质
(1)()n=________(n∈R+,且n>1);
(2)=
状元随笔 ()n中当n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0,而中a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的
运算性质
1.分数指数幂的意义
分数指数幂 |
|
正分数 指数幂 | 规定:=________(a>0,m,n∈N*,且n>1) |
负分数 指数幂 | 规定:==____________(a>0,m,n∈N*,且n>1) |
性质 | 0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂______ |
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=________;(a>0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=________;(a>0,r,s∈Q)
(3)(ab)r=________.(a>0,b>0,r∈Q)
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个__________.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
基础自测
1.+π等于( )
A.4 B.2π-4
C.2π-4或4 D.4-2π
2.b4=3(b>0),则b等于( )
C.43 D.35
3.(多选)下列各式错误的是( )
A.=-3 B.=a
C.()3=-2 D.=2
| 课堂探究·素养提升——强化创新性 |
利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1 (1)下列各式正确的是( )
A.=aB.a0=1
C. =-4 D.=-5
(2)计算下列各式:
①=________.
②=________.
③=________.
首先确定式子中n的奇偶,再看式子的正负,最后确定化简结果.
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
(2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.
跟踪训练1 求下列各式的值:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) +.
由根式被开方数正负讨论x≥y,x<y两种情况.
根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2 (1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________.
(2)化简:(a2·÷(·)=________(用分数指数幂表示).
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化.
①a3·.
②(a>0,b>0).
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂.
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法:根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出.
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.-= (x>0)
B.=(y<0)
=(x>0)
=-(x≠0)
A:-先把=再加上-.
B:注意y<0.
C:负指数次幂运算.
分数指数幂的运算与化简[教材P7例3]
例3 化简下列各式:
;.
【解析】 (1)原式===.
(2)原式==
=.
状元随笔 ①先进行指数运算,在进行指数运算时可将底数化成幂的形式,再利用幂的乘方进行运算;②对于零次幂,直接运用a0=1(a≠0)得出结论;③底数为带分数的化成假分数,进而将底数化成幂的形式;④底数为小数的一般化成分数来运算;⑤先算乘方(开方),再算乘除,最后算加减.
教材反思
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.
(3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
跟踪训练3 计算:
(1)(-1.8)0+·;
(a>0,b>0).
状元随笔 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算.
4.1.1 实数指数幂及其运算
新知初探·自主学习
知识点一
1.xn=a
2.(1) R (2)± - [0,+∞)
3. 根指数 被开方数
知识点二
(1)a (2)a |a|
知识点三
1. 0 无意义
2.(1)ar+s (2)ars (3)arbr
3.确定的实数
[基础自测]
1.解析:+π=4-π+π=4.故选A.
答案:A
2.解析:因为b4=3(b>0),∴b==.
答案:B
3.解析:由于=3,=|a|,=-2,故选项A,B,D错误.
答案:ABD
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由于=则选项A,C排除,D正确,B需要加条件a≠0.
(2)①=-a.
②==π-3.
③=--=--=.
【答案】 (1)D (2)①-a ②π-3 ③
跟踪训练1 解析:(1) =-2;
(2) ==;
(3) =|3-π|=π-3;
(4)原式=+y-x=|x-y|+y-x.
当x≥y时,原式=x-y+y-x=0;
当x<y时,原式=y-x+y-x=2(y-x).
所以原式=
例2 【解析】 (1)==
(2)(a2·÷(·)=(a2·)÷(·)=÷==
(3)①a3·=a3·==. ②====.
【答案】 (1) (2) (3)① ②
跟踪训练2 解析:-- (x>0);==- (y<0);
== (x>0);
== (x≠0).
答案:C
跟踪训练3 解析:(1)原式=1+·-10+=1+·-10+27=29-10=19.
(2)原式=·0.12·=2××8=.
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