新教材高中数学必修第二册《平面向量》精选练习（2份，教师版+原卷版）

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新教材高中数学必修第二册《平面向量》精选练习一、选择题1.设向量a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　 　)A.－2      B.－1          C.1        D.2【答案解析】答案为：B.解析：因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线.设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.2.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5=＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)A.          B.           C.           D.【答案解析】答案为：C；解析：如图，M是△ABC所在平面一点，连接AM，BM，延长CM至D，由5=＋3得=＋，由于C，M，D三点共线， 则=＋，所以=2，则2=2＋3－3，即2(－)=3(－)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.故选C.3.在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m＋，则实数m的值为(　　)A.         B.       C.1         D.3【答案解析】答案为：B；解析：如图，因为=，P是上一点，所以=，=m＋=m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋=1，所以m=.4.在△ABC中，=3，若=λ1＋λ2，则λ1λ2的值为(　　)A.　        B.　       C.　        D.【答案解析】答案为：B解析：由题意得，=＋=＋=＋(－)=＋，∴λ1=，λ2=，∴λ1λ2=.5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)A.充分必要条件        B.充分不必要条件C.必要不充分条件        D.既不充分也不必要条件【答案解析】答案为：A.解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件.6.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　 　)A.1        B.        C.        D.【答案解析】答案为：D.解析：∵＝＋＝＋，∴2＝＋，即＝＋.故λ＋μ＝＋＝.7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为(　　)A.3          B.4           C.5           D.6【答案解析】答案为：C；解析：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a，DP=x.所以D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，=(2，－x)，=(1，a－x)，所以＋3=(5，3a－4x)，|＋3|2=25＋(3a－4x)2≥25，所以|＋3|的最小值为5.故选C.8.在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)A.4        B.5  C.2        D.3【答案解析】答案为：C.解析：∵＝(2,2)，∴||＝＝2.∵·＝||·||cosA＝2×2cosA＝－4，∴cosA＝－，∵0<A<π，∴sinA＝，∴S△ABC＝||·||sinA＝2.故选C.9.已知向量m＝(1，cosθ)，n＝(sinθ，－2)，且m⊥n，则sin2θ＋6cos2θ值为(　　)A.　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.－2【答案解析】答案为：B.解析：由题意可得m·n＝sinθ－2cosθ＝0，则tanθ＝2，所以sin2θ＋6cos2θ＝＝＝2.故选B.10.已知向量与的夹角为60°，且||=3，||=2，若=m＋n，且⊥，则实数的值为(　　)A.          B.           C.6           D.4【答案解析】答案为：A解析：·=3×2×cos60°=3，∵=m＋n，且⊥，∴(m＋n)·=(m＋n)·(－)=(m－n)·－m2＋n2=0，∴3(m－n)－9m＋4n=0，∴=.故选A.11.已知向量a=(3，－2)，b=(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)A.24        B.8          C.          D.【答案解析】答案为：B解析：∵a∥b，∴－2x－3(y－1)=0，即2x＋3y=3，又x，y>0，∴＋=(＋)×(2x＋3y)=≥=8，当且仅当2x=3y=时，等号成立.∴＋的最小值是8.故选B.12.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且满足：=(m＋)＋，则实数m的值为(　 　)A.1　　　 　B.         C.　　　　D.【答案解析】答案为：D.解析：=(m＋)＋=(m＋)＋(－)=m＋，设=λ(0≤λ≤1)，则=＋λ=＋λ(－)=(1－λ)＋λ，因为=，所以=(1－λ)＋λ，则解得故选D.二              、填空题13.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝    .【答案解析】答案为：-3.解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p=(a＋c，b)，q=(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为________.【答案解析】答案为：60°解析：由p∥q，得(a＋c)(c－a)=b(b－a)，整理，得b2＋a2－c2=ab.由余弦定理，得cosC==.又0°<C<180°，∴C=60°.15.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|a－2b|=2，则|b|=________.【答案解析】答案为：3解析：因为|a|=2，|a－2b|=2，所以(a－2b)2=28，即4－4a·b＋4|b|2=28，又向量a，b的夹角为60°，所以4－4×2×|b|cos60°＋4|b|2=28，解得|b|=3.16.已知向量a，b满足：|a|＝|b|＝1，且a·b＝，若c＝xa＋yb，其中x>0，y>0且x＋y＝2，则|c|的最小值是       .【答案解析】答案为：.解析：∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝，当c＝xa＋yb时，c2＝x2a2＋2xya·b＋y2b2＝x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy；又x>0，y>0且x＋y＝2，∴xy≤()2＝1，当且仅当x＝y＝1时取“＝”，∴c2≥(x＋y)2－()2＝22－1＝3，∴|c|的最小值是.三              、解答题17.已知m=(2，1)，n=cos2，sin(B＋C)，其中A，B，C是△ABC的内角.(1)当A=时，求|n|的值；(2)若BC=1，||=，当m·n取最大值时，求A的大小及AC边的长.【答案解析】解：(1)∵当A=时，n==，∴|n|=.(2)∵m·n=2cos2＋sin(B＋C)=(1＋cos A)＋sin A=2sin(A＋)＋.∵0＜A＜π，∴＜A＋＜.∴当A＋=，即A=时，sin(A＋)=1，此时m·n取得最大值2＋.由余弦定理得BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即12=()2＋AC2－2AC×，化简得AC2－3AC＋2=0，解得AC=1或2.18.已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m=(sin A，sin B)，n=(cos B，cos A)，且m·n=sin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)=18，求边c的长.【答案解析】解：(1)由已知得m·n=sin Acos B＋cos Asin B=sin(A＋B)，因为A＋B＋C=π，所以sin(A＋B)=sin(π－C)=sin C，所以m·n=sin C.又m·n=sin 2C，所以sin 2C=sin C，所以cos C=.又0＜C＜π，所以C=.(2)由已知得2sin C=sin A＋sin B，由正弦定理得2c=a＋b.因为·(－)=·=18，所以abcos C=18，所以ab=36.由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C=(a＋b)2－3ab所以c2=4c2－3×36，所以c2=36，所以c=6.19.已知向量m=，n=，f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且a=2，(2a－b)cos C=ccos B，f(A)=，求c.【答案解析】解：(1)∵f(x)=m·n=sin cos ＋cos2=sin ＋=sin＋，∴函数f(x)的最小正周期为3π，令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，则－π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵(2a－b)cos C=ccos B, ∴2sin Acos C=sin Bcos C＋cos Bsin C=sin(B＋C)=sin A，∵0<A<π，∴sin A>0，∴cos C=，∴C=.∵f(A)=sin＋=，∴sin=1，∴＋=＋2kπ，k∈Z，∴A=，∴c=asin C=2sin =.20.已知m=(2，1)，n=cos2，sin(B＋C)，其中A，B，C是△ABC的内角．(1)当A=时，求|n|的值；(2)若BC=1，||=，当m·n取最大值时，求A的大小及AC边的长．【答案解析】解：(1)∵当A=时，n==，∴|n|= =.(2)∵m·n=2cos2＋sin(B＋C)=(1＋cos A)＋sin A=2sin＋.∵0＜A＜π，∴＜A＋＜.∴当A＋=，即A=时，sin=1，此时m·n取得最大值2＋.由余弦定理得BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即12=()2＋AC2－2AC×，化简得AC2－3AC＋2=0，解得AC=1或2.21.已知向量a=，b=(cosx，－1).(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=，b=2，sinB=，求f(x)＋4cos的取值范围.【答案解析】解：(1)因为a∥b，所以cosx＋sinx=0，所以tanx=－.cos2x－sin2x===.(2)f(x)=2(a＋b)·b=2·(cosx，－1)=sin2x＋cos2x＋=sin＋.由正弦定理=，得sinA===，所以A=或A=.因为b＞a，所以A=.所以f(x)＋4cos=sin－，因为x∈，所以2x＋∈，所以－1≤f(x)＋4cos≤ －.所以f(x)＋4cos的取值范围是.22.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值.【答案解析】解：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为，设∠AOC=α，则点C的坐标为(cos α，sin α)，　由=x＋y，得所以x=cos α＋sin α，y=sin α，所以x＋y=cos α＋sin α=2sin，又α∈，则α＋∈.所以当α＋=，即α=时，x＋y取得最大值2.23.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，||=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点.(1)若x=π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；(2)若x∈[0,]，向量m=，n=(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值.【答案解析】解:(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知C(- ,)，所以＋=(-  +t,)，所以|＋|2=－t＋t2＋=t2－t＋1=(t- )2＋(0≤t≤1)，所以当t=时，|＋|2最小，最小值为.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m==(cosx＋1，sinx)，则m·n=1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx=1－cos2x－sin2x=1－sin(2x＋).因为x∈[0,]，所以≤2x＋≤，所以当2x＋=，即x=时，sin(2x＋)取得最大值1，所以m·n的最小值为1－，此时x=.