人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后练习题

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5.3.2  极值与最值【题组一 求极值及极值点】1．(2020·北京市第十三中学高三开学考试)设函数，则的极大值点和极小值点分别为(    )A．－2，2 B．2，－2 C．5，－3 D．－5，3【答案】A【解析】易知函数定义域是，由题意，当或时，，当或时，，∴在和上递增，在和上递减，∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A．2．(2020·黑山县黑山中学高二月考)函数的极值点所在的区间为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】，且为单调函数，∴，，由，故的极值点所在的区间为，故选：B.3．(2020·河北新华·石家庄二中高二期末)“”是“函数在上有极值”的(    )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值.若函数在上有极值，则，.因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选：A.4．(2020·扶风县法门高中高二月考(理))设函数，则( )A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点【答案】D【解析】因为，所以．又，所以为的极小值点．5．(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末(理))已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为( )A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】,又因为是函数的极小值点，所以，，所以，由，或，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的极大值为，故选D.6．(2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末(理))函数在上的极大值为(    )A． B．0 C． D．【答案】A【解析】由可得当时，单调递增当时，单调递减所以函数在上的极大值为故选：A7．(2020·天津一中高二期中)函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个【答案】A【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点8．(2020·北京高二期末)已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求函数的极值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)极小值是，无极大值.【解析】(Ⅰ)的定义域是，，，故所求切线斜率，过的切线方程是：，即；(Ⅱ)，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故的极小值是，无极大值.9．(2019·湖南雨花·高二期末(文))已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极值．【答案】(1)单调增区间为：和，单调减区间为：；(2)极大值40，极小值8．【解析】(1)∵，∴．令，则或2，200单调递增40单调递减8单调递增 故的单调增区间为：和，单调减区间为：．(2)由(1)得：当时，有极大值40，当时，有极小值8．10．(2020·林芝市第二高级中学高二期中(理))已知函数，求：(1)函数的图象在点处的切线方程；(2)的单调区间及极值．【答案】(1)；(2)减区间为，，增区间为；极小值为，极大值为25．【解析】(1)显然由题意有，，，∴∴由点斜式可知，切线方程为：；(2)由(1)有∴时，或时，∴的单减区间为，；单增区间为∴在处取得极小值，在处取得极大值.【题组二 求最值点最值】1．(2020·四川内江·高二期末(文))函数在区间上的最大值是(　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．2．(2020·甘肃武威·高三月考(理))已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.【解析】(1)因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.(2)设，则，当时，，所以在区间上单调递减，所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减，因此在区间上的最大值为，最小值为.3．(2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考)已知函数，，．若在处与直线相切．(1)求，的值；(2)求在，上的最大值．【答案】(1)；(2) .【解析】(1)函数，，函数在处与直线相切，，解得；(2)，，当时，令得：，令，得，在，，上单调递增，在，上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，(1)．4．(2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考(文))已知函数f(x)＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.(1)求a、b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最小值为，最大值为28.【解析】(1)因 ，故，由于 在点处取得极值，故有，即 ，解得；(2)由(1)知 ，令 ，得，当时，故在上为增函数；当 时， 故在 上为减函数，当 时 ，故在 上为增函数．由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值，由题设条件知 ，得，此时，，，因此上的最小值为，最大值为28.5．(2020·河南商丘·高三月考(文))已知的一个极值点为2.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，；(2)最小值是，最大值是13.【解析】(1)，，的一个极值点为2，，解得.，，令，得或；令，得；令，得或；故函数的减区间为，增区间为，.(2)由(1)知，，当时，；当时，；在上为增函数，在上为减函数，是的极大值点，又，，，所以函数在上的最小值是，最大值是13.6．(2020·重庆高二期末)已知()在处取得极值.(1)求实数的值；(2)求的单调区间；(3)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)1；(2)增区间为，，减区间为；(3)最大值为9，最小值为.【解析】(1)，由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.(2)由(1)得，，由得或；由得.故的单调增区间为，，单减区间为.(3)由(2)得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.【题组三 已知极值及最值求参数】 1．(2020·湖南其他(理))已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，令，∴，∴时，在单调递增；∴时，在单调递减.如图，∴，∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；当时，在上单调增减，成立；当时，有两个根，，∵当时，，；当时，，；当时，，，∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上，.故选：A2．(2020·河南郑州·高三月考(文))已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】的零点为和1，因为，所以1是函数的极小值即最小值点，则是函数的极大值点，所以，且，解得.故选：C. 3．(2020·广东高二期末(理))函数在，上最大值为2，最小值为0，则实数取值范围为(    )A．， B．， C．， D．【答案】A【解析】. ，，令，则或(舍负)，当时，，单调递增；当时，，单调递减.函数在，上最大值为2，最小值为0，且，(1)，.故选：A.4．(2020·贵州遵义·高三其他(文))若函数无极值点则实数a的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】,，由函数无极值点知，至多1个实数根，，解得，实数a的取值范围是，故选：B5．(2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试(理))函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，因为，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，根据题意有，所以，当时，，当时，，所以其最大值是2，故选：B.6．(2020·四川省绵阳江油中学高二月考(理))函数在内有最小值，则的取值范围为(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函数f(x)=x3﹣3ax﹣a在(0，1)内有最小值，∴f′(x)=3x2﹣3a=3(x2﹣a)，①若a≤0，可得f′(x)≥0，f(x)在(0，1)上单调递增，f(x)在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′(x)=0解得x=±，当x＞，f(x)为增函数，0＜x＜为减函数，f(x)在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在(0，1)内，符合要求．综上所述，a的取值范围为(0，1)故答案为B7．(2020·黑龙江高二期中(理))已知函数(1)若，求函数的极值；(2)当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.【答案】(1) 函数的极大值为函数的极小值为 (2) 【解析】(1)，，定义域为，又 .当或时；当时∴函数的极大值为函数的极小值为.(2)函数的定义域为，且 ，令，得或，当，即时，在上单调递增，∴在上的最小值是，符号题意；当时，在上的最小值是，不合题意；当时，在上单调递减，∴在上的最小值是，不合题意故的取值范围为8．(2020·北京八中高二期末)已知函数.(1)当时，求函数在上的最小值；(2)若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；(3)若，讨论函数在上的零点个数．【答案】(1)1；(2)；(3)答案见解析.【解析】(1)当时，，因为，所以，所以为单调递增函数，所以．(2)，，当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，因为，故，与的最小值为1矛盾.故实数的取值范围为 (3)由(2)可知，当时，在上，为单调递增函数，，此时函数的零点个数为0； 当时，，令，则，函数单调递减，令，解得，  所以当，，，，，，所以当时，，此时函数在上的零点个数为0； 当时，，此时函数在上的零点个数为1；，又，故在存在一个零点，，故在存在一个零点，此时函数在上的零点个数为2． 综上，可得时，函数在上的零点个数为0；时，函数在上的零点个数为1；，函数在上的零点个数为2.9．(2020·广东禅城·佛山一中高二月考)已知函数；讨论的极值点的个数；若，求证：．【答案】(1)当a≤0时，f(x)无极值点；当a＞0时，函数y=f(x)有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析【解析】(1)根据题意可得，，当时，，函数是减函数，无极值点；当时，令，得，即，又在上存在一解，不妨设为，所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的.所以函数有一个极大值点，无极小值点；总之：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点.(2)，，由(1)可知有极大值，且满足①，又在上是增函数，且，所以，又知：，②由①可得，代入②得，令，则恒成立，所以在上是增函数，所以，即，所以.10．(2020·四川达州·高二期末(理))已知，函数，.(1)讨论的单调性；(2)记函数，求在上的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)，则.当时，当时，，函数单调递增；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；(2)，，.①当时，对任意的，，函数单调递增，所以，函数在上的最小值为；②若，对任意的，，函数单调递减，所以，函数在上的最小值为；③若时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，又因为，，.(i)当时，即当时，，此时，函数在区间上的最小值为；(ii)当时，即当时，.此时，函数在区间上的最小值为.综上所述，.11．(2020·四川省绵阳江油中学高二期中(文))已知函数在处取得极小值1．(1)求的解析式；(2)求在上的最值．【答案】(1)(2)最小值为1，最大值为3．【解析】(1)，由，得或．当时，，则在上单调递增，在上单调递减，符合题意，由，得；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不符合题意．所以．(2)由(1)知在上单调递增，在上单调递减，因为，所以的最小值为1，最大值为3．12．(2020·扶风县法门高中高二月考(理))已知函数，曲线在点处切线方程为．(1)求的值；(2)讨论的单调性，并求的极大值．【答案】(1)；(2)见解析.【解析】(1)．由已知得，．故，．从而，．(2)由(1)知，，．令得，或．从而当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，函数取得极大值，极大值为．