6.5平面向量复习课 教学设计

6.5  平面向量复习课

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1.理清本章知识网络,使学生能够纲举目张;

2.对本章核心内容重点复习并达到综合运用的能力.

二、教学重难点：通过一题多解让学生达到核心内容的融会贯通.

三、教学过程

1.理清脉络,纲举目张

【活动预设】布置学生课前编制本章网络知识图，教师收集批阅并课中展示学生成果.

【设计意图】让学生弄清本章的知识体系，公式之间的联系，让学生对本章有个宏观把握。

2.抓住核心,突破重点

典例1  【平面向量的最值问题】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为(   )

A．3   B．2   C．   D．2

【活动预设】先由学生独立思考，再由老师引导学生从特值法、坐标法、等和线法，找到解决问题的突破口，最后由老师展示解答过程，强调解题的关键点。

【解法1】特值法

，,故选A

【小结】特值法，特立独行！

【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设与切于点，连接．

以为原点，为轴正半轴，

为轴正半轴建立直角坐标系，

则点坐标为．

∵，．

∴．

∵切于点．

∴⊥．

∴是中斜边上的高．

即的半径为．

∵在上．

∴点的轨迹方程为．

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．

∵

∴，．

两式相加得：

         (其中，)

当且仅当，时，取得最大值3．

，若满足，

则，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是 ，即的最大值是，故选A.

【小结】解析法，用数据说话！

【小结】等和线法，等你来和一把！

【知识拓广1】等和线的概念及其性质

1.等和线：平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP  OA  OB ,  R  ，若点 P在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则  k (定值) ,反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线.

2.等和线性质

①当等和线恰为直线 AB 时， k  1 ；

②当等和线在O 点和直线 AB 之间时， k  0,1 ；

③当直线 AB 在O 点和等和线之间时， k  1,  ；

④当等和线过O 点时， k  0 ；

⑤若两等和线关于O 点对称，则它们定值 k1,k2 互为相反数；

⑥定值 k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；

3.等和线性质应用背景:在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.

4.跟踪练习：　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

＝x＋y

常规解法：　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(1,0)，B.设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)

由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α

所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取最大值2

等和线法：连AB,平移AB并使此线与圆弧相切,此时切点为圆弧中点E,连AE、BE,易知OAEB为平行四边形,此时＝＋,x＋y有最大值2.

【设计意图】解法1：特值法，四两拨千斤，化难为易！解法2：解析法，用数据说话，降低思维量！解法3：等和线法，在移动中联通彼岸！通过一题多解,融会贯通平面向量最值问题的解题技巧,并拓宽学生的知识面。

典例2【平面向量的数量积问题】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ）

A.                B.           C.                      D.

【活动预设】先由学生独立思考完成该题，小组之间可以互相讨论，再由老师引导学生从坐标法、基底法、定义法、极化恒等式法，找到解决问题的突破口，最后由老师展示解答过程，强调解题的关键点。

【解法1】（坐标法） 如图建系：

设点  点为中，可以有两种思路：

【小结】本题由于是在等边三角形中的问题，可以考虑用坐标法解决.把所求的向量内积转化成坐标形式，进一步求出最小值.

【解法2】(基底转换法)

,当点与重合时=,等号成立.

【小结】基底表示法是解决向量问题的一利器！

【解法3】 定义法

【小结】利用定义结合余弦定理.

【解法4】 极化恒等式法（1）

由解法一可知：，由利用极化恒等式得：，当点与重合时=,.

【解法5】极化恒等式法（2）

设分别为中点，

 ,

利用性质：“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”得：

当点与重合时取最小值.

【小结】利用极化恒等式进行转换.

【知识拓广2】极化恒等式及其几何意义

1.极化恒等式：

2.几何意义（极化恒等式的三角形模式）：在中，若M是BC的中点，则有

3.跟踪练习 (2021·深外三模)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．

常规解法  不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，

线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0<a<1)，

∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，

∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋，

∵0<a<1，∴由二次函数的知识可得·∈.

极化恒等式法：取MN的中点P,则·＝BP2－PM2＝BP2－,可得·∈.

【设计意图】解法1：构造直角坐标系，典型又直接.在有垂直的条件下建立坐标系是首选方法.

解法2：选择不共线的向量作为基底，把表示出来，体现了转化的思想.

解法3：利用了余弦定理和“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”体现了数形结合的思想.

解法4和解法5：利用了向量的一个性质.积累一些常见结论，适当运用可以起到事半功倍的效果.

典例3【正、余弦定理的应用】(2016 全国三第8题)在△ABC中，， 边上的高等于,则为 （     ）

    （A）   （B）        （C）        （D）

【活动预设】

【小结】两角和正切求角！

【解法2】（三角函数法2）

如图，

【小结】. 两角和余弦求角！

【解法3】余弦定理法：

设则，利用余弦定理

【小结】巧设变量求余弦！

【解法4】正弦定理法：

设则

，明显为钝角，

【小结】巧设变量求正弦！

【小结】巧用面积求角度！.

【解法6】面积法：

取中点,,

设则

利用余弦定理求出

【小结】角度转化求正弦！

【设计意图】在解题中加深对正、余弦定理的理解，形成解题的基本思路：从角的视角、或从边的视角、或从面私的视角寻找方法,然后利用正、余弦定理的相关知识解题.

解法1和解法2：从不同的角度用了两角和的正切和余弦求值，角度不同方法统一：

解法3和解法4：利用了利用余弦和正弦来求解，是解决此类问题的通法！

解法5：以面积为中间纽带，求出角度的正弦！ 解法6：利用平面几何转化求角，简化了运算，值得尝试！

3.随堂演练,学以致用

【活动预设】引导学生从不同角度思考问题,通过一题多解达到融会贯通的效果。

练习1如图为边长为2的等边三角形，在线段上有一点,则=        .

【解法1】（定义法）如图：

【小结】本题关键在于构造，求出

【解法2】（基底法）以为基底表示，

，又三点共线，，

=3=18.

【小结】把化为,利用三点共线，再把用基底表示.

【小结】建立坐标系，内积数量化.

【解法4】（特值法）令与重合，

【小结】小题小做，提速神器.

【设计意图】解法1：从定义出发，直接在直角三角形求夹角的余弦，利用直角三角形中余弦的定义，化简求出最后结果.

解法2：利用平面向量基本定理，目标明确以为基底，（注意必须是不共线的）利用了转化思想，简单实用.

解法3：利用数量积的计算公式，内积数量化，简化思维过程，体现数形结合思想.（适合有垂直的条件的习题）

解法4：充分利用填空题的特点，小题小做，以特殊代替一般，让动点P具体化，是解决选择填空题常用的方法.

本题四种解法包括了求向量内积常用的几种方法和特值法，方法多元化，能举一反三，起到事半功倍的效果，与其跳进题海不能自拔，不如仔细研究这样一题收获丰厚.

练习24.△ABC中，A＝，a＝2，求2b＋c的最大值．

解1：由正弦定理可得

2b＋c＝(2sinB＋sinC)

＝[2sin(C＋)＋sinC]＝(2sinC＋cosC)

＝sin(C＋φ)．

故2b＋c的最大值为．

解2：＝＝．

令＝t，t＞0，

f (t)＝＝＝－＋1，

所以＝，即t＝时，取得最小值，

所以2b＋c此时取得最大值．

4. 归纳小结,文化渗透

【活动预设】学生讨论归纳 ,关注本章注意点。

【设计意图】

（1）梳理本节课对于平面向量的认知,让学生感受到在知识、方法和数学思想上的收获；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习向量的必要性 .

四、课外作业

1.【2017年高考数学天津卷理12】（13）在中，，，.若，，且，则的值为___________.

【解法1】几何法

【小结】几何法，以形助数，不攻自破！

【小结】解析法,“数点”江山！

【解法3】等量代换法

，因此，

结合，因此

即，即，即

【小结】等量代换法，一代胜一代！

【反思】

解法1：几何法，利用向量三角形法则，“减”掉 难点！

解法2：解析法，用数据稀释难点，让问题来得再难一点吧！

解法3：等量代换法，当换则换，不换则乱！

２.【2015天津，理14】在等腰梯形 中，已知，，，，动点 和分别在线段和上，且，，则的最小值为        .

【解法1】【等价转化思想】因为，，

，，

，

当且仅当，即时，的最小值为.

【小结】以为基底，利用均值不等式求解.

【小结】等腰梯形适合建立坐标系，内积数量化之典例.

【解法3】【数形结合思想】由题意得，，

过、作，垂足分别为、

则，，，

设，

则

当且仅当，即时，的最小值为

【小结】数形结合显神威！

【设计意图】方法1：在向量运算中常用平面向量基本定理，即在平面内选一组适当的向量（必须不共线）作为基向量，根据向量加减法运算法则将所求向量数量积转化为基向量数量积，结合向量的数量积定义表示要运算的向量,充分体现了等价转化思想的应用；

方法2：本解法通过建立平面直角坐标系，根据具体的图形性质用坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标式进行计算，体现了几何问题转化为代数问题的解题策略；

方法3：从平面几何性质出发，利用三角形表示欲求向量的模及夹角，几何条件与三角代数结合是本方法的关键.

３.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为____．

解3：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，

整理可得a2＝b2＋c2－bc，

由余弦定理得

cosA＝，所以A＝．

因为a＝2，所以A在

以BC为弦，以为半

径的圆上，所以△ABC面

积的最大值为．

【小结】

(1)正弦定理、余弦定理与三角形面积公式综合使用是高考命题的趋势，解题时要综合分析其中的数量关系，得出方程，通过解方程求得目标值

(2)解三角形中范围问题的基本思路：把求解目标化为三角形一个内角的三角函数，利用三角函数的性质及基本不等式得出目标的范围．

４.【2016年北京理科数学第15题】在ABC中，分别是ABC中对应的三条边，且满足

（I）求的大小

（II）求的最大值

【答案】，1

【知识点】解三角形、余弦定理、正弦定理、三角函数图像与性质

（I）解：由，得，

可知

（II）解法一：消元法

由（I），得，

可知，又由，得，

即

解法二：余弦定理

由已知，得

，

又由，

当且仅当时取到等号，此时满足条件，

得，从而有

解法三：几何法

过点B作AC的垂线BD，垂足为D，设，由（I），得，则且，

由

令，得在上是单调函数,

即

当时，，即，此时与重合，

故，可知，此时，

当时，，此时与重合，

,可知，

综上所得

【设计意图】精心设计课后作业,巩固提高学生综合应用向量解题能力。