第13章轴对称13.3等腰三角形（简答题专练）2021-2022学年八年级上册数学把关题分类专练（人教版）

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第13章轴对称13.3等腰三角形（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．按语句画图：任取一点O，以O为端点画射线OA和OB，使∠AOB＝40°；分别在OA和OB上截取OC和OD，使OC＝OD＝3 cm，画出OC和OD的中点M，N，连接CD和MN.
(1)测量∠OCD，∠OMN，∠ODC，∠ONM的度数；
(2)你发现什么规律了吗？试着表述一下．
【答案】（1）四个角的度数都相等，均为70°.（2）顶角相等(同)的等腰三角形的底角也相等．
【解析】
分析：通过作图可得△OMN和△OCD均为等腰三角形，通过测量可得∠OCD，∠OMN，∠ODC，∠ONM的度数，进而得出规律.
详解：如图．

(1)四个角的度数都相等，均为70°.
(2)顶角相等(同)的等腰三角形的底角也相等．
点评：本题考查通过作图、测量得出等腰三角形的性质.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，
求证：DE=2AB．

【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
取ED的中点O，连接AO，可证得∠AOE=2∠D，∠EBC=∠D，∠AOE=2∠EBC，
可得∠ABD=∠AOB，AB=OA，可证得结论.
【详解】
证明：取ED的中点O，连接AO，

∵∠CAD=90°，
∴OD=AO=OE，
∴∠AOE=2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠D，
∴∠AOE=2∠EBC，
∵∠ABD=2∠EBC，
∴∠ABD=∠AOB，
∴AB=OA，
∴DE=2AB=2OA．
【点评】
本题主要考查平行线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定和性质, 解题的关键在于作出斜边DE上的中线, 求证OA=AB即可.
3．已知等腰三角形△ABC 的一边长为 5，周长为 22.求△ABC 另两边的长.
【答案】△ABC 另两边长分别为 8.5，8.5．
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解题.
【详解】
∵△ABC是等腰三角形，
∴不妨设AB=AC，
又∵一边长为5，
①设 AB=AC=5，
∵△ABC 的周长为 22，
∴BC=22-5-5=12，
∵5+5<12，
∴不成立(舍)；
②设 BC=5，
∵△ABC 的周长为 22，
∴AB=AC=（22-5）÷2=8.5，
∵8.5+5>8.5，符合题意，
∴△ABC 另两边长分别为 8.5，8.5．
【点评】
本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质.
4．如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）55°．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得到∠CEF=∠BDE，可证△BDE≌△CEF；
（2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数．
【详解】
（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE．
∵AB=AC，∴∠C=∠B．
又∵CE=BD，∴△BDE≌△CEF．
（2）∵△BDE≌△CEF，∴DE=FE．
∴△DEF是等腰三角形，∴∠EDF=∠EFD．
∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=70°．
∵∠DEF=∠B，∴∠DEF=70°，∴∠EDF=∠EFD=×（180°﹣70°）=55°．
【点评】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．
5．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．

(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【详解】
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
6．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．
【详解】
证明：连接BM，

∵AB＝BC，AM＝MC，
∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，
∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，
∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，
∵BD＝CE，AB＝BC，
∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，
在△ADM和△BEM中，
∴△ADM≌△BEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形．
【点评】
此题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于得出BM⊥AC.
7．已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D 为 BC 的中点．
(1)点 E、F 分别为 AB、AC 上的中点，请按要求作出满足条件的△ABC 图形并证明：DE＝DF；
(2)如图①，若点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE＝AF；
(3)若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE＝AF 吗？请利用图②说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BE＝AF，见解析．
【解析】
【分析】
（1）画图并证明△AED≌△AFD，可得DE＝DF；
（2）如图①，证明△BDE≌△ADF，可得BE＝AF；
（3）如图②，证明△EDB≌△FDA，可得BE＝AF．
【详解】
（1）如图，连接AD．

∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD．
∵点E、F分别为AB、AC上的中点，∴AEAB，AFAC．
在△AED和△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF；
（2）连接AD，如图①所示．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°．
∵点D为BC的中点，∴ADBC＝BD，∠FAD＝45°．
∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF．
在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（3）BE＝AF．证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°．
∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA．
在△EDB和△FDA中，∵，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE＝AF．

【点评】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

【答案】77° 38.5°
【解析】
【分析】
由题意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角,再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C.
【详解】
解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，
在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
【点评】
本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等,还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系.利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法,要熟练掌握.
9．已知与是两个大小不同的等腰直角三角形．
如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由；
如图②所示，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由．

【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理证明RtBCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质进行解答即可；
（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可.
【详解】
（1），，理由如下：
如图①，延长DB交AE于点H，
∵与是等腰直角三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；

（2），，理由如下：
如图②，设与交于，
由题意得，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即．

【点评】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.
10．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．
【答案】：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm
【解析】
【分析】
本题给出了等腰三角形的两边间的比例关系，但是没有明确这两边哪边是底，哪边是腰，因此要分两种情况讨论．
【详解】
解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm，
则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，
则有：①x+x+x=28，得x=8cm，
所以三边为：8cm、8cm、12cm；
②x+x+x=28，得x=7cm，
所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．
因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．
【点评】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，本题从边的方面考查三角形，利用分情况讨论的思想方法是解决本题的关键．
11．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．

求证：（1）△ABD≌△ACE；
（2）DF=CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）求出∠BAD=∠BAC，根据SAS证出△BAD≌△CAE即可；
（2）根据全等推出∠DBA=∠C，根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC，根据平行线性质得出∠ABC=∠DFB，推出∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定推出即可．
详解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠EAC．在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△BAD≌△CAE，∴∠DBA=∠C．
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．
∵DF∥BC，∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA，即∠DFB=∠DBF，∴DF=CE．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
12．等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD．

证明：（1）AE＝DC；
（2）AE与DC的夹角为60°；
（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分∠AHC．
【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据△ABD和△BCE都是等边三角形，即可得到△ABE≌△DBC（SAS），进而得出AE＝DC；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到△ADH中，∠AHD＝60°，进而得到AE与DC的夹角为60°；
（3）过B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，根据全等三角形的面积相等，即可得到BG＝BF，再根据BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，可得BH平分∠AHC．
【详解】
证明：（1）∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC
∴∠ABE＝∠DBC
∴在△ABE和△DBC中

∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴AE＝DC；
（2）∵△ABE≌△DBC
∴∠BAE＝∠BDC
又∵∠BAE+∠HAD+∠ADB＝120°
∴∠BDC+∠HAD+∠ADB＝120°
∴△ADH中，∠AHD＝180°﹣120°＝60°
即AE与DC的夹角为60°；
（3）过B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，如图：

∵△ABE≌△DBC
∴S△ABE＝S△DBC，即AE×BGDC×BF
∵AE＝DC
∴BG＝BF
∵BF⊥DC于F，BG⊥AH于G
∴BH平分∠AHC．
【点评】
本题考查了等边三角形性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等式性质、角平分线的判定等知识点的综合运用，证明是解决问题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．
（1）若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
（3）若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．

【答案】（1）CD＝PE+PF，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）连接PA，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）如图2和图3，连接PA，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】
（1）CD＝PE+PF．理由如下：
如图1，连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．
（2）成立，理由如下：
连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．
（3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．理由如下：
如图2，连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AB×CDAC×PFAB×PE．
∵AB＝AC，∴CD＝PF﹣PE．
如图3，连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE﹣PF．

【点评】
本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．
14．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD．

证明：（1）AE与DC的夹角为60°；
（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形性质得出，，，求出．根据证，则，根据三角形的内角和定理可求出；
（2）过点分别作，，垂足为点、，再（1）结论的基础上根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，然后根据角平分线的判定即可得证结论．
【详解】
证明：（1）∵和是等边三角形
∴，，
∴
在和中，

∴
∴，
∵
∴在中，


；
（2）过点分别作，，垂足为点、，如图：

∵由（1）知：
∴，
∴
∴
∵，
∴点在的平分线上，
∴平分．
【点评】
本题考查了等边三角形性质、三角形的面积、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等式性质、角平分线的判定等知识点的综合运用，证明是解决问题的关键．
15．已知：如图，∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，

①求证：△ADE为等腰三角形．
②若∠B＝60°，求证：△ADE为等边三角形．
【答案】①见解析；②见解析.
【解析】
【分析】
①先根据∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，判定△ABD≌DCE，得出DA＝DE，进而得到△ADE为等腰三角形；
②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD＝∠CDE，再根据三角形内角和定理和平角的定义，得到∠ADE＝60°，最后可判定等腰△ADE为等边三角形．
【详解】
①在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴DA＝DE，
即△ADE为等腰三角形
②∵△ABD≌△DCE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，
∴∠CDE+∠ADB＝120°，
∴∠ADE＝60°，
又∵△ADE为等腰三角形，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】
本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用．