13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 人教版数学八年级上册学案

第十三章 轴对称

13．3  等腰三角形

13．3．1  等腰三角形

第1课时 等腰三角形的性质

学习目标：1．理解并掌握等腰三角形的性质．

          2．经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．

重点：掌握等腰三角形的性质

难点：运用等腰三角形的性质解决有关问题．

自主学习

教学备注：学生在课前完成自主学习部分

知识链接

1．三角形全等的判定方法：（1）                 ；（2）                ；

（3）                 ；（4）                 ；（5）                ．

2．等腰三角形的有关概念：有两条边       的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做       ，另一条边叫做       ，两腰所夹的角叫做       ，底边与腰的夹角叫做       ．

3．（1）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长等于_________．

（2）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则其周长等于_________．

注意：已知两边求等腰三角形的周长，应该分两种情况讨论．注意在讨论后要思考这样的三条边能否构成三角形．

课堂探究

一、要点探究

探究点1：等腰三角形的性质1

剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？

折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．

猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的什么性质吗？说一说你的猜想．

猜想与验证：性质1  等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）．

已知：如图，△ABC 中，AB=AC．

求证：∠B=∠C．

典例精析

例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小角的度数为x．

针对训练

如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

例2：等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)

A．65°或50°             B．80°或40°

C．65°或80°             D．50°或80°

方法总结:等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

探究点2：等腰三角形的性质2

想一想：刚才的证明除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么?

要点归纳：性质2 等腰三角形的            ，            ，            互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）．

填一填：根据等腰三角形性质定理2完成下列填空．

在△ABC中，AB=AC时：

（1）∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____．   

（2）∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____ =∠_____．

（3）∵AD是角平分线，∴____ ⊥____，_____ =_____．

辨一辨：1．等腰三角形的顶角一定是锐角．    （   ）

2．等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以． （   ）

3．钝角三角形不可能是等腰三角形．       （   ）

4．等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边．    （   ）

5．等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合．   （   ）

6．等腰三角形底边上的中线一定平分顶角．    （   ）

典例精析

例3：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC．

（1）如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；

（2）如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC．

方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．

二、课堂小结

当堂检测

1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）

A．30°，60°             B．45°，45°

C．45°，90°             D．20°，70°

2. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）

A．40°     

B．30°         

C．70°     

D．50°

3．（1）等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为_____________；

（2）等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为____________________；

（3）等腰三角形一个角为120°，它的另外两个角为_______________．

4．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．

5．如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B =30°，求∠BAD和∠ADC的度数．

6．如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF．

拓展提升

7．A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．SSS  SAS  ASA  AAS  HL

2．相等  腰  底  顶角  底角

3．（1）10或11   （2）17

课堂探究

二、要点探究

探究点1：等腰三角形的性质1

剪一剪  解：AB=AC，△ABC 是等腰三角形．

折一折：△ABC 是轴对称图形，折痕所在的直线是它的对称轴．

找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．

重合的线段：AB与AC，BD与CD，AD与AD；

重合的角：∠B 与∠C，∠BAD 与∠CAD，∠ADB 与∠ADC．

猜想与验证：证明：证法1：作底边BC边上的中线AD．

在△ABD与△ACD中：∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）．

证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．

在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．

证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D．

∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．

在Rt△ABD与Rt△ACD中，∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C．

典例精析

例1  解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD．

设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．

∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．

针对训练

解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC．

设∠C=x，则∠DAC=x，∠B=∠ADB= ∠C+∠DAC=2x，

在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°．

∴∠C= x=38.5°，∠B=2x=77°．

例2  A

探究点2：等腰三角形的性质2

要点归纳  顶角平分线  底边上的中线  底边上的高

填一填  （1）1  2  BD  CD

（2）AD  BC  1  2

（3）AD  BC  BD  CD

辨一辨  ×  ×  ×  √  ×  √

典例精析

例3证明：（1）如图①，过A作AG⊥BC于G．

∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；

（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF．∵AB＝AC，∴AF⊥BC．

当堂检测

1．B   2．A  

3．（1）75°， 30°   （2）72°，72°或36°，108°   （3）30°，30°   4．70°或20°

5．解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，

∴∠C=∠B=30°，∠BAD =∠DAC，∠ADC =90°．

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．∴∠BAD=∠BAC=60°．      

6．证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．

又∵BD、CE为底角的平分线，∴∠DBC =∠ABC，∠ECB =∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．

∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．

拓展提升

7．解：如图，共8个．