第13章轴对称13.3等腰三角形（填空题专练）2021-2022学年八年级上册数学把关题分类专练（人教版）

第13章轴对称13.3等腰三角形（填空题专练）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：AB=_____.

【答案】1：1.5

【解析】

【分析】

根据角平分线的性质和等腰三角形的性质可求证AD=CD，然后即可得出AD∶AB.

【详解】

解：∵AB∥CD

∴∠DCA=∠CAB

∵AC平分∠DAB

∴∠CAB=∠CAD =∠DCA

∴AD = CD

∵DC∶AB=1∶1.5

∴AD∶AB=1∶1.5

【点评】

角平分线的性质和等腰三角形的性质是本题的考点，证明AD=CD是解题的关键.

2．如图所示，是等边三角形，，是直角三角形，则_______．

【答案】30°

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质求出∠ACB=60°，根据直角三角形的性质得到∠ACD=90°，再利用三角形外角的性质和平行线的性质即可解答.

【详解】

∵是等边三角形，是直角三角形，

∴∠ACB=60°，∠ACD=90°，

∴∠DCE=30°，

∵，

∴∠ADC=∠DCE，

∴30°.

故答案为30°.

【点评】

此题考查平行线的性质，三角形内角和，解题关键在于求出∠DCE=30°.

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线．已知AB=，那么DB=__________．

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：先根据含30°的直角三角形的性质求得AC的长，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质可求得AD=BD，从而求得结果.

∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4

∴∠BAC＝60°，AC＝2

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠CAD＝∠BAD＝30°

∴AD＝4

∵∠BAD＝∠B＝30°

∴BD＝AD＝4.

考点：三角形的内角和定理，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质

点评：解题的关键是熟练掌握含30°的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半.

4．在中，若，则是一个_______三角形.

【答案】等腰

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠C的度数即可作出判断.

【详解】

∵∠A=46°，∠B=67°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-46°-67°=67° ，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，

故答案为等腰.

【点评】

本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理以及等腰三角形的判定方法是解题的关键.

5．边长为2的正三角形的一边在x轴的正半轴上,一个顶点为坐标原点,则第三个顶点的坐标为 ________.

【答案】(1, )

【解析】

【分析】

根据△ABO是等边三角形,边长为2,即OA=OB=2,根据点A在x轴的正半轴上, 过点B作BC⊥OA于C,由等边三角形三线合一的性质可求得OC的长,在Rt△BOC中,根据勾股定理可求出BC的长;结合点B的第一象限,OC,BC已知,即可解答.

【详解】

解:根据题意画出示意图,过点B作BC⊥x轴交x轴正半轴于点C.

∵ △ABO是等边三角形,且边长为2

∴ OA=OB=2 (等边三角形各边都相等)

∵ BC⊥OA

∴ BC是△ABO的中线 (三线合一)

∴ AC=OC=1

∵ 在Rt△BOC中,OC=1,OB=2

∴ BC= =  (直角三角形勾股定理求值)

∵ 点B在第一象限

∴ 点B的坐标为(1, )

∴ 第三个顶点即点B的坐标为(1, )

故答案为(1,).

【点评】

此题考查等边三角形的性质，解题关键在于画出图形.

6．如图，在中，，，，于点，若，则的周长为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件易得△ABD≌△EBD，结合其它已知得到BE=AC，而AC=DE+DC于是得到△DEC的周长等于BC的长．

【详解】

∵∠1=∠2,∠A=∠BED=90°，BD=BD，

∴△ABD≌△EBD，

∴BE=AB=AC，

又∠A=90°，∠1=∠2，DE⊥BC，

∴AD=DE，

则△DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE=AC+CE=BE+CE=，

故答案为

【点评】

此题考查角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质求解

7．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为________．

【答案】

【解析】

【分析】

如图，作辅助线；首先证明DE＝BE（设为μ），DF＝BF（设为γ）；运用勾股定理分别求出BE、BF、BD的长度；借助三角形的面积公式，列出关于EF的等式，求出EF即可解决问题．

【详解】

如图，过点D作DG⊥AE于点G；

∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴，∠A＝45°；

∵∠ADG＝90°﹣45°＝45°，∴∠A＝∠ADG，AG＝DG（设为λ），由勾股定理得：λ2+λ2＝AD2，而AD＝AC﹣2＝2，λ，BG＝3．

由勾股定理得：BD＝2；

∵EF⊥BD，且平分BD，∴DE＝BE（设为μ），DF＝BF（设为γ），∴GE＝3μ，CF＝4﹣γ；

在△DGE中，由勾股定理得：

，解得：μ；在△DCF中，同理可求：γ＝2.5；

∵S四边形BEDF＝S△BED+S△BFD，，∴，解得：EF．

故答案为：．

【点评】

本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点是灵活解题的基础和关键．

8．已知∠AOB=30°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是____．

【答案】2

【解析】

【分析】

过M作MN' ⊥OB于N' , 交OC于P, 即MN'的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值, 解直角三角形即可得到结论.

【详解】

解：过M作MN'⊥OB于N',交OC于P,则MN'的长度等于PM+PN的最小值,即MN'的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,

∠ON'M=90, OM=4,

MN'=OM=2,

点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2.

故答案是: 2.

【点评】

本题主要考查角的概念及其计算和直角三角形.

9．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图），连结、，若此时他测得．小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图），设旋转角为，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为________．

【答案】或

【解析】

【分析】

结合旋转的性质分情况讨论即可求得答案.

【详解】

当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，

则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，

即β=60°；

②当AF=FK时，∠FAK==75°，

∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，

即β=15°，

∴β的度数为60°或15°，

故答案为：60°或15°.

【点评】

本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及运用分类讨论思想是解本题的关键.

10．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．

【答案】60°

【解析】

【分析】

利用三角形内角和定理求得∠C=90°，在Rt△ACB中，AB=2BC推出∠A=30°，从而得出∠B的度数．

【详解】

根据三角形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A+∠B=∠C，
∴∠C+∠C=180°，
解得∠C=90°，

在Rt△ACB中，

∵AB=2BC，

∴∠A=30°，

∴∠B=90°-30°=60°．

故答案为：60°．

【点评】

本题考查了三角形内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．

11．等腰三角形的底角为15°，腰长为24cm，则这个三角形的面积为____________．

【答案】144 cm2

【解析】

【分析】

过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．

【详解】

设△ABC的顶角为∠BAC，如图，
过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，

∵AB=AC，∠B=15°，

∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠DAC=∠B+∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，CD=AC=12(cm)，
∴S△ABC=AB•CD=×24×12=144(cm2)，
故答案为：144 cm2．

【点评】

本题主要考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解得此题的关键是作出辅助线构造含30度角的直角三角形．

12．等腰三角形的底边上的中线等于腰长的一半，则它的顶角为__________．

【答案】120°

【解析】

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数．

【详解】

如图：△ABC中，BD=DC，

∴∠ADB=90°，

∵在Rt△ABD中，AD=AB，
∴∠B=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=120°．

故答案为：120°．

【点评】

本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．

13．在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．

【答案】60°

【解析】

【分析】

根据直角三角形的性质可得∠A=30°，根据直角三角形两锐角互余即可得答案．

【详解】

∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=16，BC=8，

∴BC=AC，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴∠A=30°，

∴∠C=90°-∠A=60°．

故答案为：60

【点评】

本题考查直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题关键．

14．等腰直角中，，，，，，则________．

【答案】8

【解析】

【分析】

先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差即可得．

【详解】

是等腰直角三角形，且，

，，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

，

故答案为：8．

【点评】

本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．

15．如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______

【答案】1:2

【解析】

【分析】

由条件可求得∠BAC =30°，在Rt△ABC中利用含30°角直角三角形的性质可求得AC=2BC的长，进而求出结果．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=30°，

∴AC=2BC，

∵CD＝AC，

∴CD=2BC，

∴BC∶CD=1:2，

故答案为1:2．

【点评】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．