初中数学13.3 等腰三角形综合与测试教学设计

这是一份初中数学13.3 等腰三角形综合与测试教学设计，共14页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

13．3　等腰三角形
13.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质

一、基本目标
【知识与技能】
1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．
2．利用等腰三角形的性质解决相关问题．
【过程与方法】
经历等腰三角形性质的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强了语言表达能力．
【情感态度与价值观】
在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，提高学习的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的性质．
【教学难点】
运用等腰三角形的性质解决有关问题．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P75～P77的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.
2．教材P75【探究】：
(1)如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC.

从上述过程中可知，在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．
(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角：①重合的线段：AB与AC、BD与CD、AD与AD；②重合的角：∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC.
3．等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”)．
(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
4．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝1＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36.
∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.

【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的角平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等求解．
【证明】过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝2∠2.
∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDC＝90°.
∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝∠2.
∴∠BAD＝2∠DBC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证等式中，角之间的数量关系，利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(　D　)
A．20°　 B．50°或80°
C．10°　 D．20°或80°
2．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝3 cm.

3．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.

证明：∵AB＝AC，CN＝AC，
∴AB＝CN，∠N＝∠CAN.
又∵AB∥CN，
∴∠BAM＝∠N，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴AM为∠BAC的平分线．
又∵AB＝AC，
∴AM为三角形ABC的边BC上的中线，
∴BM＝CM.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
【互动探索】要求∠A，需先讨论∠A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．
【解答】①当∠A为顶角时，则∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，
∴∠B＝∠C＝50°.
∴∠A＝80°.
②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，
∵∠A＋∠B＝130°，
∴∠A＝65°.
③当∠B为顶角时，则∠A＝∠C，
∵∠A＋∠B＝130°，
∴∠A＝∠C＝50°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等腰三角形的性质

请完成本课时对应练习！
第2课时　等腰三角形的判定

一、基本目标
【知识与技能】
1．探索等腰三角形的判定方法．
2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．
【过程与方法】
经历判定等腰三角形的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强数学语言表达能力．
【情感态度与价值观】
在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，感受数学学习的乐趣，激发学习数学的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握等腰三角形的判定方法．
【教学难点】
会运用等腰三角形的判定方法解决问题．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P77～P78的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形．
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.

证明过程略．(提示：作△ABC的角平分线AD)
3．等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边)．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.

【互动探索】(引发学生思考)要证AB＝AC，本题不能直接连结AD，由全等得到，可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证．
【证明】连结BC.
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB.
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB.
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是通过连结BC，使AB、AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，需证CE＝CF.由等角的余角相等可得∠B＝∠ACD，由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE＝CF.
【解答】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，
即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝3 cm.

2．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°.

3．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
求证：△BDE是等腰三角形．

证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠ADE.
∵AD⊥BD，
∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2,3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6
【互动探索】∵△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P1；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P2、P4；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P3.综上所述，共有4个．故选B.

【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此题的关键是：(1)利用分类讨论思想确定等腰三角形的两腰；(2)利用尺规作图和数形结合思想确定等腰三角形的个数．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
对于判断三角形是否是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等，可以借助计算，运用平行线的性质，以及同角或等角的余角相等等方法去辅助证明．

请完成本课时对应练习！
13.3.2　等边三角形
第3课时　等边三角形的性质与判定

一、基本目标
【知识与技能】
了解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质和判定方法．
【过程与方法】
经历探究等边三角形性质与判定方法的过程，培养独立思考问题、解决问题的能力以及应用数学的意识．
【情感态度与价值观】
在活动中，体会数学与现实的密切联系，感受数学的应用价值和学习的乐趣，激发数学学习的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握等边三角形的性质和判定方法．
【教学难点】
会用等边三角形的相关性质解决简单的实际问题．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P79～P80的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．
2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
3．等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．在等边三角形ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
4．在三角形ABC中，AB＝AC＝5，∠A＝60°，则BC＝5.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，△OEF是等边三角形吗？为什么？

【互动探索】(引发学生思考)由OE∥AB，OF∥AC→得角相等(60°)→得△OEF是等边三角形．
【证明】∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠B＝∠OEF，∠C＝∠OFE.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠OEF＝∠OFE＝60°，
∴△OEF是等边三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)据三个角都相等的三角形是等边三角形或者有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.

证明：连结BD.
∵在等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°.
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，
∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．
又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.
2．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.
(1)求∠C的度数；
(2)求证：△ADE是等边三角形．

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，即∠C＝30°.
(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

【互动探索】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】△APQ为等边三角形．理由：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
在△ABP与△ACQ中，∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等边三角形

请完成本课时对应练习！
第4课时　含30°角的直角三角形的性质

一、基本目标
【知识与技能】
掌握含30°角的直角三角形的性质，并能解决相关问题．
【过程与方法】
经历探索含30°角的直角三角形的性质的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．
【情感态度与价值观】
在探索含30°角的直角三角形的性质的过程中，培养学生的应用意识和探究精神，提高学生的求知欲和好奇心．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握含30°角的直角三角形的性质定理．
【教学难点】
运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P80～P81的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
解：发现斜边的长度是30°角所对的直角边长度的2倍．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3．在Rt△ABC中，若∠BCA＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是(　　)

A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
【互动探索】(引发学生思考)在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.即AB的长度是12 cm.故选D.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，求PD＝1.5.

教师点拨：过点P作PE⊥OB于点E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝PC＝×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.
2．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？

解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝20米．
又∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝10米，即树的高度为10米．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50 m，AB＝40 m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？

【互动探索】求购买草皮的钱数，需算出△ABC的面积．作BD⊥CA，Rt△ABD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即可得△ABC的面积．
【解答】如图，作BD⊥CA于点D.
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAB＝30°.
∵AB＝40 m，
∴BD＝AB＝20 m，
∴S△ABC＝×50×20＝500(m2)．
已知这种草皮每平方米a元，故一共需要500a元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

请完成本课时对应练习！