4.4.3 指数函数、对数函数、幂函数综合-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数函数、对数函数、幂函数综合

类型一：指数、对数运算

例1．计算

（1）；        （2）；

（3）；        （4）

【解析】（1）原式=；

（2）原式=

       =

       =1-+=1

  （3）原式==

=2+=3；

（4）令，两边取常用对数得

=

    = =

即=14．

举一反三：

【变式1】=（    ）

A．0      B．1      C．2      D．4

【答案】C

【解析】=．

【变式2】（1）；   （2）．

【解析】（1） 原式

           ；

（2） 原式

           ．

类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

例2．设偶函数满足，则= （    ）

A．        B．    

C．         D．

【解析】且是偶函数．

，或

或，解得或，故选B．

举一反三：

【变式1】已知函数若，则的取值范围是（     ）．

A．     B．或    C．    D．或

【答案】A

【解析】依题意或即或，所以．

例3．设函数 若，则实数的取值范围是（     ）

A．            B．  

C．          D．

【答案】C

【解析】一：①若，则，，得，得，得．

②若则，，，解得

由①②可知

例4．函数的单调递增区间是（    ）

A．（3，+∞）     B．（－∞，3）     C．（4，+∞）     D．（－∞，2）

【答案】D【解析】函数是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是

例5．已知函数（a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m．

若函数是单调增函数，则a=________．

【解析】根据题意，得3－10m＞0，解得；

当a＞1时，函数在区间[－1，2]上单调递增，最大值为，解得，最小值为，不合题意，舍去；

当1＞a＞0时，函数在区间[―1，2]上单调递减，最大值为，解得，最小值为，满足题意；    综上，．

举一反三：

【变式1】已知，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（   ）

A．线段AD                B．线段AB

C．线段AD与线段CD      D．线段AB与BC

【答案】C

【解析】∵函数的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．

当x=1时，函数取最小值1，若，则x=0，或x=1

而函数|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，

则或，

则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为：

【变式2】已知函数若互不相等，且，

则的取值范围是（     ）．

A．（1，10）        B．（5，6）        C．（10，12）         D．（20，24）

【答案】C 【解析】由互不相等，结合图象知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以.

类型三：综合问题

例6．已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围

【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即

又由f（1）=－f（－1）知

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上

为减函数。又因是奇函数，从而不等式：

等价于=，因为减函数，由上式推得：

即对一切有：，

从而判别式

（或: 即对一切有：，又

∴

举一反三：

【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）设，解不等式f（x）＞0．

【解析】（1）依题意知，解得

函数f（x）的定义域为．

（2）函数是奇函数

任取，，所以

=0

所以函数是奇函数．

（3）因为，所以

由，得

解得，．

例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．

【解析】依题意，在上恒成立．

则设

只需求的最大值，

任取且，

            =

由于是单调递减函数

，即在上是单调递增的，

举一反三：

【变式1】设函数．

（1）求的定义域；

（2）求使在上恒成立的实数的取值范围．

【解析】（1），即

若，则的定义域为；

若，则的定义域为；

若，则的定义域为．

（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立．

令，则在上递减，在上递增，，即．

另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知

由且可知．

②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立．

显然这样的实数不存在．

综上所求的的取值范围为．

【巩固练习】

1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（    ）

A．    B．    C．      D．

1．【答案】A  【解析】．

2．设函数f（x）＝则满足的的取值范围是（    ）

A．    B．   C．   D．

2．【答案】D  【解析】不等式等价于或，可得或，即

3．函数在上递减，那么在上（    ）

A．递增且无最大值    B．递减且无最小值    C．递增且有最大值    D．递减且有最小值

3．【答案】A  【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值．

4．若函数（a＞0，a≠1）为增函数，那么的图象是（  C  ）

A．                  B．                 C．                 D．

5．函数的定义域为（    ）；

A．          B．  

C．          D．

5．【答案】D 

6．已知是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（   ）

A．（0，1）      B．（1，2）      C．（0，2）      D．[2，+∞）

6．【答案】B【解析】∵在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），

即．∴，∴1＜a＜2．

7．已知, 判断、、之间的大小关系是（     ）．

A．    B．      C．     D．

7．【答案】B 【解析】因为函数是单调递减的，又，所以．

因为函数在上是增函数，又，所以

8．函数的反函数是（    ）

A．                     B．     

C．                     D．

8．【答案】D  【解析】由，解得

即，故所求反函数为

9．不等式的解集为         ．

9．【答案】 

【解析】依题意得，，，即，解得．

10．已知函数，对任意都有，

则、 、的大小顺序是         ．

10．【答案】    【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以

11．若函数定义域为R，则a的取值范围是________．

11．【答案】[－1，0]  【解析】∵函数定义域为R

∴恒成立即恒成立,则，解得－1≤a≤0

12．若函数是奇函数，则为           ．

12．【答案】2  

13．已知，求函数的值域．

13．【答案】  ，令

则，，

即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，

即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．

14．已知函数，其中x∈[0，3]．

（1）求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）若实数a满足：f（x）－a≥0恒成立，求a的取值范围．

14．【解析】（1）∵（0≤x≤3）

∴（0≤x≤3），令，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8．

令（1≤t≤8）

当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．

∴，

（2）∵f（x）－a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．∴a≤f（x）min恒成立．

由（1）知，∴a≤－10．

故a的取值范围为（－∞，－10]

15．已知函数

（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；

（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≥2成立，求实数a的取值范围．

15．【答案】（1）（―∞，―1）∪（1，+∞）；（2）

【解析】（1）当a=4时，要使函数式有意义，则

｜2x－1｜+｜x+2｜＞4，分类讨论如下：

①当时，2x－1+x+2＞4，解得x＞1；

②当时，1－2x+x+2＞4，解得－2≤x＜－1；

③当x＜―2时，1―2x―x―2＞4，解得x＜－2，

综合以上讨论得，x∈（―∞，―1）∪（1，+∞）；

（2）∵f（x）≥2恒成立，

∴|2x―1|+|x+2|―a＞4恒成立，

分离参数a得，a＜|2x―1|+|x+2|―4，

所以，a≤[|2x―1|+|x+2|―4]min，

记g（x）=|2x―1|+|x+2|―4，

分析可知，当时，，

所以，实数a的取值范围为．