4.2 指数函数及其性质 -【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数函数及性质

要点一、指数函数的概念：

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

①如果，则

②如果，则对于一些函数，如，当时，在函数值不存在．

③如果，则是个常量，就没研究的必要了．

要点二、指数函数的图象及性质：

要点诠释：

（1）指数函数与的图象关于轴对称．

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令比较）

4.（1）指数函数的底数满足：，

的图像如图所示：

（2）特殊函数的图像：

【典型例题】

类型一、函数的定义域、值域

例1．求下列函数的定义域、值域.

(1)；    (2)y=4x-2x+1；    (3)；    (4)(a为大于1的常数)

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)       (2)      (3)      (4)

类型二、指数函数的单调性及其应用

例2．讨论函数的单调性，并求其值域．

举一反三：

【变式1】求函数的单调区间及值域.

例3．讨论函数的单调性．

举一反三：

【变式1】 求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.

例4．(1)1.8a与1.8a+1   (2)   (3)22.5，(2.5)0，   (4)

举一反三：

【变式1】比较大小： ，，； 

【变式2】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.

【变式3】如果（，且），求的取值范围．

类型三、判断函数的奇偶性

例5．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：.

类型四：指数函数的图象问题

例6．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

举一反三：

【变式1】 设，c＜b＜a且，则下列中一定成立的是（    ）

A．    B．    C．    D．

例7．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，

则的取值范围是         ．

举一反三：

【变式1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，

则a，b，c，d与1的大小关系为（    ）

A．a＜b＜1＜c＜d      B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d      D．a＜b＜1＜d＜c

例8．已知函数．

（1）作出函数f（x）的图象；

（2）指出该函数的单调递增区间；

（3）求函数f（x）的值域．

类型五：指数函数性质的综合

例9．设（a，b为实常数）。

（1）当时，证明：①不是奇函数；②是上的单调递减函数。

（2）设是奇函数，求与的值。

巩固练习

1．函数在R上是减函数，则的取值范围是（     ）

A．         B．          C．        D．

2．已知定义在上的奇函数和偶函数满足

，若，则（    ）

A．2    B．         C．         D．

3．用表示三个数中的最小值．设，

则的最大值为（     ）

A．4      B．5      C．6      D．7

4．函数的值域是（     ）

A．     B．  　　C．      D．

5．已知，则函数的图像必定不经过（     ）

A．第一象限      B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限

6．（2015年山东高考）设函数则满足的a的取值范围是（   ）

A．      B．[0,1]      C．      D．[1,+∞）

7．一批设备价值万元，由于磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ）

A．     B．      C．    D．

8．设函数若，则的取值范围是_________．

9．函数的值域是区间，则与的大小关系是      .

10．函数的值域是            ．

11．方程的实数解的个数为             ．

12．若函数（a∈R）满足f（2+x）=f（2－x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，

则实数m的最小值为________．

13．设，解关于的不等式．

14．已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.

（Ⅰ）求在上的解析式；   （Ⅱ）求在上的最值．

15．已知函数的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）－f（x+2）

（1）求g（x）的解析式及定义域；

（2）若x∈[0，1]，求函数g（x）的最大值和最小值．