高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题

第四章  指数函数与对数函数

【4.5   函数的应用（二）】

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题型一   求函数的零点

1、已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0  B．－2,0  C.  D．0

【答案】　D

【解析】　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.

当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．

综上所述，函数零点为0.

2、已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（    ）

A．   B．x＝1   C．x＝e  D．x＝1或x＝e

【答案】C

【解析】依题意，所以.故选：C

3、若函数的零点是（），则函数的零点是（    ）

A．   B．和     C．    D．和

【答案】B

【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.故选B.

题型二   判断零点个数及所在区间

4、函数的零点所在的区间为（   ）

A．B． C．D．

【答案】B

【解析】，，，由零点的存在性定理，函数在区间内有零点，选择B

5、函数的零点个数为（   ）

A．3       B．2      C．1     D．0

【答案】B

【解析】

由，由，

所以函数的零点个数为2，故选B.

6、方程的实根的个数为________．

【答案】2个

【解析】方程的实根个数可转为函数和的交点个数，

在同一坐标系中作出和的图像，

如图，可得交点个数为2个，

故方程的实根个数是2个，

故答案为：2个

题型三   根据零点情况求参数的取值范围

7、已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数=         ．

【答案】6

【解析】由得：，由题设知，

因为，所以，所以

因为，所以不合题意，舍去，所以答案应填：6．

8、已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】因为函数在区间内有唯一零点，

故在区间上只有一个根.

又在上单调递减，其值域为.

故要满足题意，只需.故选：D.

9、已知函数（且）与的图象有两个交点，求实数的取值范围.

【解析】根据题意，分2种情况讨论：

①时，函数的草图如图：

若且与的图象有两个交点，

必有，即，

又由，故；

②时，函数的草图如图：

，

若且与的图象有两个交点，必有，分析可得，

综合可得：的取值范围为．

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1、已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，

所以，即，

解得，所以实数的取值范围是．

2、已知函数，其中a∈R，且a≠0

（1）设h(x)=(2x－3)f (x)，若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；

（2）求函数y=｜f（x）｜在[0，1]上最大值．

【解析】（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2－4=0，解得a=±2；

（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，

代入得，

解得，检验满足Δ＞0；

综上所述，a的了取值集合为．

（Ⅱ）（1）若，即a≥0时，

函数y=｜f（x）｜在[0，1]上单调递增，

故；

（2）若，即－2＜a＜0时，

此时，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；

故，

（3）若，即a≤－2时，

此时f（1）=2+a≤0，，

综上所述，

3、已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞－2x的解集为（1，3）．

（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．

解析：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x－1）（x－3），且a＜0．因而．①

由方程f（x）+6a=0得．②

因为方程②有两个相等的根，所以，

即．解得a=1或．

由于a＜0，a=1，舍去，故．

将代入①得f（x）的解析式．

（Ⅱ）由

及a＜0，可得f（x）的最大值为．

由，解得或．

故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．