4.高中数学(新人教A版)-向量的数乘运算课件PPT

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高一年级 数学向量的数乘运算数量的乘法数量的乘法数量的乘法数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量数量的乘法向量长度3|a|3|a|数量的乘法向量长度方向3|a|3|a|数量的乘法向量长度方向3|a|3|a|数量的乘法向量长度方向3|a|3|a|一、向量数乘运算的定义 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa， 它的长度与方向规定如下： 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa， 它的长度与方向规定如下： 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；记作 λa， 它的长度与方向规定如下： 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 记作 λa， 它的长度与方向规定如下： 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa， 它的长度与方向规定如下： 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘． 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘． 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘． 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘． 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘． 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘．0a ＝ 0． 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘．0a ＝ 0．当 a ＝ 0 时， 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘．0a ＝ 0．当 a ＝ 0 时，| λ0 | 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘．0a ＝ 0．当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 | 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘．0a ＝ 0．当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 | ＝ 0， 它的长度与方向规定如下： 显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0， 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a |；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．记作 λa，这种运算叫做向量的数乘．0a ＝ 0．当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 | ＝ 0， λ0 ＝ 0．已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．aaAB已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．aAB已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．aAB已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．aABCD已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．aABCD已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．aABCD已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．λaλaλaλaλaλaλaλa几何角度：非零向量的数乘运算，相当于对向量 a 延其所在直线方向的拉伸或压缩．CCCCCC二、向量数乘运算的运算律数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘数量乘法向量数乘????????????????????????????????向量数乘运算律向量数乘运算律向量数乘运算律向量数乘运算律特别地，向量数乘运算律特别地，向量数乘运算律特别地，向量数乘运算律特别地，向量数乘运算律特别地， 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量． 对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，λ ( μ 1 a ± μ 2 b) 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量． 对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，λ ( μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ ( μ 1 a ) ± λ ( μ 2 b) 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量． 对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，λ ( μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ ( μ 1 a ) ± λ ( μ 2 b) ＝ λ μ 1 a ± λ μ 2 b．三、典型例题① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：① 0a ＝ 0；向量数乘运算的的结果是一个向量；例 判断下列结论的正误：① 0a ＝ 0；向量数乘运算的的结果是一个向量；区分数量 0 与向量 0．例 判断下列结论的正误：① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：向量数乘运算的的结果是一个向量；区分数量 0 与向量 0．① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；① 0a ＝ 0；分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；① 0a ＝ 0；分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0，例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；① 0a ＝ 0；分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0， 则 λ ＝ 0 或 a ＝ 0．例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；① 0a ＝ 0；分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0， 则 λ ＝ 0 或 a ＝ 0．例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；反例：λ ＝ 0．① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ；③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；反例：λ ＝ 0．① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ．③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；反例：λ ＝ 0．反例：a ＝ 0．① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ．③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；反例：λ ＝ 0．反例：a ＝ 0．① 0a ＝ 0；例 判断下列结论的正误：与数量问题既有相似，又有区别．需要准确把握概念，严谨分析．② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0； (－3)×4a；例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a； 例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a 例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) 例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b 例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b ＝0a＋5b 例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b ＝0a＋5b ＝5b；例 计算： (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b ＝0a＋5b ＝5b；例 计算：类似合并同类项 (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b ＝0a＋5b ＝5b；例 计算：类似合并同类项类似提取公因式 (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b 例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b 例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb 例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b 例 计算：例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b 例 计算： (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b ＝ －2ya＋2xb． 向量的线性运算，与数和代数式的运算非常相似，去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法同样适用。在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在□ ABCD中，解：在△ ADP中，解：在△ ADP中，解：在△ ADP中，解：在△ ADP中，解：在△ ADP中，解：在△ ADP中，解：在△ ADP中，解：在△ APQ中，在△ ADP中，解：在△ APQ中，在△ ADP中，解：在△ APQ中，在△ ADP中，解：在△ APQ中，在△ ADP中，解：在△ APQ中，用两已知向量的线性运算表示其它向量的一般方法： 把待求向量放在三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则以及向量数乘的定义，逐步完成对待求向量的表示．四、课堂小结 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下： (1) | λa | ＝ | λ | | a | ； (2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相反．向量数乘的定义向量数乘的运算律 运算的研究过程： 运算法则——运算律——运算的应用 运算的研究过程： 运算法则——运算律——运算的应用 向量数与形的双重属性： 从数与形两方面认识向量问题 运算的研究过程： 运算法则——运算律——运算的应用 向量数与形的双重属性： 从数与形两方面认识向量问题 类比的研究方法： 既要关注共性，又要关注区别五、课后作业1. 化简： (1) 6 (a －3b＋c)－4 (－a＋b－c)； (2) (x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．2. 在 △ABC 中， ，DE∥BC，且与边 AC 相交于点 E，△ ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N．设 ＝a， ＝b，用a，b分别表示向量 ， ， ， ， ， ， ．