数学必修 第一册4.3 对数函数同步测试题

这是一份数学必修 第一册4.3 对数函数同步测试题，共18页。试卷主要包含了给出下列函数，函数y=lg3x-2的定义域是，函数f=lg的大致图象是等内容，欢迎下载使用。

题组一 对数函数的概念及其应用
1.给出下列函数:
①y=lg23x2;②y=lg3(x-1);③y=lg(x+1)x;④y=lgπx.
其中是对数函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知函数f(x)=lga(x+2)(a>0,且a≠1),若其图象过点(6,3),则f(2)的值为( )
A.-2B.2C.12 D.-12
3.(多选)(2021河北石家庄正定一中高一上期中)若f(x)满足对定义域内任意的x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1·x2),且当00,则称f(x)为“好函数”,则下列函数不是“好函数”的是( )
A. f(x)=2xB. f(x)=12x
C. f(x)=lg12xD. f(x)=lg2x
题组二 与对数函数有关的定义域问题
4.(2021河北张家口一中高一上期中)函数y=lg(2x-1)3x-2的定义域是( )
A.23,1∪(1,+∞)
B.12,1∪(1,+∞)
C.23,+∞
D.12,+∞
5.已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.
6.(2020山东菏泽高一上期末)设全集U=R,函数f(x)=x-a+lg(a+3-x)的定义域为集合A,集合B=x|14≤2x≤32.命题p:若 ,则A∩B≠⌀.
从①a=-5,②a=-3,③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中,使命题p为真命题,说明理由,并求A∩(∁UB).
题组三 对数(型)函数的图象
7.在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=lg2(-x)的图象可能是( )
8.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )
题组四 对数函数的性质及其应用
9.(2020天津红桥高一上期末)函数f(x)=lga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点( )
A.(2,2)B.(2,3) C.(1,0)D.(2,1)
10.已知a=lg23-1,12b=5,c=lg32,则a,b,c的大小关系为( )
A.c11.(2020北京平谷高一上期末)已知a,b∈R,那么“3a<3b”是“lg13a>lg13b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=lg12(x2-2x-3)的单调递增区间是 .
13.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式014.设函数f(x)=lga1-ax,其中0(1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;
(2)若f(x)>1,求x的取值范围.
题组五 对数函数的最大(小)值与值域问题
15.(2020广东东莞高一上期末)下列函数中,与函数f(x)=x+1(x∈R)的值域不相同的是( )
A.y=x(x∈R)B.y=x3(x∈R) C.y=ln x(x>0)D.y=ex(x∈R)
16.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=lgax(a>0,且a≠1)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a的值为 .
17.已知函数f(x)=lg2x.
(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;
(2)求y=lg2(2x-1)在[2,14]上的最值.
题组六 反函数
18.函数y=1ax与y=lgbx互为反函数,则a与b的关系是( )
A.ab=1B.a+b=1 C.a=b D.a-b=1
19.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(a,a),则a的值为( )
A.2 B.12
C.2或12D.3
20.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f12的值为 .
能力提升练
题组一 对数函数的图象
1.(2020北京石景山高一上期末,)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=lgax的图象可能是( )
2.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x||x|的图象是( )
题组二 对数函数单调性的应用
3.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=lga(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是( )
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1) D.(-3,-1]
4.(多选)()若a>b>0,0A.lgcacb
C.ac>bcD.lgc(a+b)>0
5.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 .
6.()已知函数f(x)=lgax+m,00,a≠1)在定义域内单调递减,若|f(2m)|>f(a),求实数m的取值范围.
题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题
7.(2020山东泰安高一上期末,)若函数f(x)=2x+2,x≤1,lg2(x-1),x>1在(-∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为( )
A.[0,17]B.(-∞,17]
C.[1,17]D.[1,+∞)
8.()若函数f(x)=lg2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为 .
题组四 对数函数的综合运用
9.()已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于( )
A.1B.0
C.-1D.-2
10.(2020山东济南高一上期末,)已知函数f(x)=lg32-x2+x,若f(a)+f(a-1)>0,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,12
B.-1,12
C.(-2,2)
D.(-1,2)
11.()已知函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,求实数m的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.A ①②中,因为对数的真数不是只含有自变量x,所以不是对数函数;③中,因为对数的底数不是常数,所以不是对数函数;④是对数函数.
2.B 将点(6,3)代入f(x)=lga(x+2)(a>0,且a≠1)中,得3=lga(6+2)=lga8,即a3=8,∴a=2,
∴f(x)=lg2(x+2),∴f(2)=lg2(2+2)=2.
3.AB 对于A,对定义域R内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2, f(x1·x2)=2x1x2,
f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),故A中的函数不是“好函数”;对于B,对定义域R内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=12x1+12x2, f(x1·x2)=12x1x2, f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),故B中函数不是“好函数”;对于C,对于定义域{x|x>0}内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=lg12x1+lg12x2=lg12(x1x2)=f(x1·x2),故C中函数是“好函数”;对于D,对于定义域{x|x>0}内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=lg2x1+lg2x2=lg2(x1x2)=f(x1·x2),故D中函数是“好函数”.故选AB.
4.A 要使函数y=lg(2x-1)3x-2有意义,
必须满足2x-1>0,2x-1≠1,3x-2>0,∴x>12,x≠1,x>23,
因此231.
∴函数的定义域为23,1∪(1,+∞),故选A.
5.解析 因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,
所以x2+2x+a>0恒成立,
所以Δ=4-4a<0,
所以a>1.
故实数a的取值范围是(1,+∞).
6.解析 要使函数f(x)有意义,
只需x-a≥0,a+3-x>0,解得a≤x即A=[a,a+3).
由14≤2x≤32,
得-2≤x≤5,即B=[-2,5].
选择第②个条件:
当a=-3时,A=[-3,0),
∴A∩B=[-2,0),满足条件.
∵∁UB=(-∞,-2)∪(5,+∞),
∴A∩(∁UB)=[-3,-2).
选择第③个条件:
当a=2时,A=[2,5),
∴A∩B=[2,5),满足条件.
∵∁UB=(-∞,-2)∪(5,+∞),
∴A∩(∁UB)=⌀.
7.B 因为y=2x的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图象,故排除选项C,D;
y=lg2(-x)的图象为过点(-1,0)的递减的对数型函数图象,故排除选项A,故选B.
8.B 解法一:由题可知,当x>0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x<0时, f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lg x的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B正确.故选B.
解法二:易知f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),又f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此C,D错误.
当x>0时, f(x)=lg(x-1),是(1,+∞)上的增函数,故选B.
9.A 由对数函数的性质可知,当x=2时, f(2)=2,故函数f(x)=lga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2).故选A.
10.B 由12b=5,得b=lg125=-lg25,又a=lg23-1=-lg23,
所以-lg25<-lg23<011.B 由3a<3b⇒alg13b”;由lg13a>lg13b⇒0lg13b”的必要不充分条件.故选B.
12.答案 (-∞,-1)
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,
因此函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),记为D.
设u=x2-2x-3,则y=lg12u,易知y=lg12u是定义域内的减函数,
又u=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1]∩D=(-∞,-1).
13.解析 不等式0即0由2-2x>0,x+1>0得-1由0因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,解得-23由-114.解析 (1)证明:任取x1,x2∈(a,+∞),不妨令0又∵0f(x2),
∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.
(2)∵lga1-ax>1,且0∴0<1-ax∴1-a∵00,从而a∴x的取值范围是a,a1-a.
15.D 易知f(x)的值域为R.A,B,C选项中各函数的值域均为R,不符合题意;选项D中函数的值域为(0,+∞),与f(x)的值域不同,故选D.
16.答案 2
解析 ①当a>1时, f(x)=lgax在(0,+∞)上为增函数,
所以f(x)=lgax在[1,4]上的最大值为lga4,最小值为lga1;
②当0所以f(x)=lgax在[1,4]上的最大值为lga1,最小值为lga4.
故有lga1+lga4=2,即lga4=2,
所以a=2,故答案为2.
17.解析 (1)∵f(x)=lg2x为增函数,f(a)>f(2),
∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
(2)∵2≤x≤14,
∴3≤2x-1≤27,
∴lg23≤lg2(2x-1)≤lg227.
∴函数f(x)=lg2(2x-1)在[2,14]上的最小值为lg23,最大值为lg227.
18.A 由函数y=1ax与y=lgbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.
19.B 解法一:函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=lgax(a>0,且a≠1),
故y=lgax的图象过点(a,a),则a=lgaa=12.
解法二:∵函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(a,a),∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(a,a),∴aa=a=a12,即a=12.
20.答案 -lg32
解析 易得y=f(x)=lg3x,
∴f12=lg312=-lg32.
能力提升练
1.D 选项A中两条曲线都不是函数y=xa(x≥0)的图象;选项B中,y=xa(x≥0)中a>1,y=lgax(x>0)中00)中a>1,不符合;选项D中,y=xa(x≥0)中00)中02.B 当x>0时,y=xln|x||x|=ln x,排除C,D;
当x<0时,y=xln|x||x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.
3.D 由f(0)<0得lga3<0,因此0由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0,
解得-3因此函数f(x)的定义域为(-3,1).
设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,当x∈[-1,1)时,u=-x2-2x+3单调递减,而0∴f(x)的单调递减区间为(-3,-1],故选D.
4.AC 选项A中,因为0b>0得lgca选项B中,因为0b>0,得ca选项C中,因为a>b>0,01,所以ac>bc,故C正确;
选项D中,取c=12,a+b=2,则lgc(a+b)=lg122=-1<0,故D错误.故选AC.
5.答案 (3,+∞)
解析 f(x)的图象如图所示,
因为f(a)=f(b),所以结合图象可得0设g(a)=a+2a(0因为g(a)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=3,即a+2a>3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).
6.解析 由函数f(x)在定义域内单调递减,
可知0由m≥1得2m≥2,故f(2m)=-2m+2,
由0∴|f(2m)|>f(a)⇔|-2m+2|>m+1,又m≥1,
∴2m-2>m+1,解得m>3,
故m的取值范围是(3,+∞).
7.C 易知f1(x)=2x+2在(-∞,1]上单调递增, f2(x)=lg2(x-1)在(1,+∞)上单调递增.作出f(x)的大致图象,如图所示.
由图可知, f(1)=4, f(17)=4,所以a的取值范围为[1,17].
8.答案 0,14∪[1,+∞)
解析 设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=lg2u的定义域为B,则B=(0,+∞).
当k=0时,u=-x+14,A=R,则A∩B=(0,+∞),函数f(x)的值域为R,符合题意;
当k≠0时,依题意得k>0,B⊆A,因此(2k-1)2-4×k×14≥0,解得k≤14或k≥1,
此时k的取值范围是0,14∪[1,+∞).
综上所述,实数k的取值范围为0,14∪[1,+∞).
9.B 设g(x)=ln(x+x2+1),易知其定义域为R,且g(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
因为f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,
所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.
10.B 由题可知f(x)=lg32-x2+x的定义域满足2-x2+x>0⇒(x-2)(2+x)<0,解得-2又f(x)+f(-x)=lg32-x2+x·2+x2-x=lg31=0,故f(x)为奇函数.
又f(x)=lg32-x2+x=lg3-1+42+x,且y=-1+42+x在(-2,2)上为减函数,故f(x)为减函数.
f(a)+f(a-1)>0,即f(a)>-f(a-1)=f(1-a),所以-2所以a∈-1,12.故选B.
11.解析 (1)因为函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
即lnkx-1x+1+ln-kx-1-x+1=ln(kx-1)(-kx-1)(x+1)(-x+1)=ln1-k2x21-x2=0对定义域内任意x恒成立,所以k2=1,即k=±1,
显然k≠-1,所以k=1.
经验证,k=1符合题意.
(2)f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上均为增函数.
证明:由(1)知f(x)=lnx-1x+1,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1f(x1)-f(x2)=lnx1-1x1+1-lnx2-1x2+1=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1),
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,且(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)·(x2+1)>0,
所以0<(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<0,
即f(x1)同理, f(x)在(-∞,-1)上为增函数.
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数,
又因为函数f(x)在[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,
所以m>0,且lnα-1α+1=lnmα-m2,lnβ-1β+1=lnmβ-m2,
所以α-1α+1=mα-m2,β-1β+1=mβ-m2,
即α,β是方程x-1x+1=mx-m2的两个不等实根,
问题等价于方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,
令h(x)=mx2-1-m2x+1-m2,x∈(1,+∞),易知h(x)为二次函数,其图象的对称轴为直线x=12m-14,
则m>0,12m-14>1,Δ=-1-m22-4m1-m2>0,ℎ(1)=m>0,
即m>0,02或m<29,解得0