湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数教学ppt课件

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1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.(直观想象)3.知道对数函数y=lgax与指数函数y=ax互为反函数(a>0且a≠1).(数学抽象)
某种物质的细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示?那么如果知道这种物质的一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,如何求解x的值呢?
知识点一:对数函数1.对数函数的概念:对数运算 y=lgax(x>0,a>0且a≠1) 确定了一个函数,叫作(以a为底的)对数函数.2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)和对数函数y=lgax(a>0且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换,图象关于直线 y=x对称,两者中一个递增另一个也递增,一个递减另一个也递减.
名师点析 1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=lgax;(2)底数a满足a>0且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=lgax可化为ay=x,由指数函数的性质可知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
微拓展若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.
知识点二:对数函数y=lgax(a>0且a≠1)的图象与性质
名师点析 1.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.2.当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数00且a≠1)的图象,需找三个关键点:
微练习(1)(多选题)若函数y=lgax的图象如图所示,则a的值可能是(　　)
(2)下列函数在区间(0,+∞)内不是增函数的是(　　)A.y=5xB.y=lg x+2C.y=x2+1
(3)函数f(x)=lga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的图象必经过定点　　　　　. 
答案 (1)AB　(2)D　(3)(3,-6)
例1(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)lgmx,则m=　　　　　. 
①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.
(1)答案 2解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.
变式训练1(1)若函数f(x)=lg(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=　　　　　. (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=　　　　　. 
例2比较下列各组中两个值的大小:(1)ln 0.3,ln 2;(2)lga3.1,lga5.2(a>0,且a≠1);(3)lg30.2,lg40.2;(4)lg3π,lgπ3.
解 (1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.31时,函数y=lgax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以lga3.1lga5.2.故当a>1时,lga3.1lga5.2.
(方法2)画出y=lg3x与y=lg4x的图象,如图所示,由图可知lg40.2>lg30.2.(4)因为函数y=lg3x在定义域内是增函数,且π>3,所以lg3π>lg33=1.同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3.
反思感悟 比较两个对数式大小的常用方法(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.(2)当底数不同、真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.
变式训练2比较下列各组中两个值的大小:(1)lg31.9,lg32;(2)lg23,lg0.32;(3)lgaπ,lga3.141(a>0,且a≠1).
解 (1)(单调性法)因为f(x)=lg3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)lg21=0,lg0.32lg0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=lgax在定义域内是增函数,则有lgaπ>lga3.141;当01时,lgaπ>lga3.141;当0反思感悟 求解与对数函数有关的函数的定义域的方法求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求:一是要对数真数大于零;二是要注意对数的底数;三是根据底数的取值结合函数的单调性,转化为关于真数的不等式求解.
变式训练3求下列函数的定义域:
例4(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=lg2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=(　　)A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=lg24=2.
要点笔记涉及指数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数的图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
变式训练4函数f(x)与g(x)= ( )x互为反函数,则f(4x-1)的定义域为　　　. 
例5作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解 先画出函数y=lg x的图象(如图1).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
反思感悟 求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=lgax(a>0且a≠1)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.(1)一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
变式训练5画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间:(1)y=lg3(x-2);(2)y=lg5|x|.
解 (1)函数y=lg3(x-2)的图象如图1.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上单调递增.(2)∵f(x)=lg5|x|,∴f(x)是偶函数,其图象如图2所示.其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
对数函数在实际问题中的应用
典例 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少应过滤多少次,才能使产品达到市场要求?(参考数据lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
所以至少应过滤11次才能使产品达到市场要求.
点评上述求解过程中,设的过滤次数变量是y.方法点睛 建立对数函数模型解决实际问题对数运算是求指数的运算,因此要建立对数函数模型,可设指数变量为y,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数据或计算工具计算解题.
变式训练某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,问从哪一年开始,该公司全年投入的研发资金超过200万元?(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
1.(2021福建龙岩高一期末)已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=(　　)A.1B.2C.10D.1010答案 A解析 函数y=10x的反函数为f(x)=lg10x=lg x,f(10)=lg 10=1,故选A.
2.函数y=lg2(x+1)的图象大致是(　　)
答案 C解析 函数y=lg2(x+1)的图象是把函数y=lg2x的图象向左平移一个单位长度得到的,定义域为(-1,+∞),过定点(0,0)且在(-1,+∞)上是增函数,故选C.
A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.[2,+∞)
A.y5.若函数f(x)=-5lga(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是　　　　　. 
答案 (2,2)解析 令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).