湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数第二课时练习

课时跟踪检测(三十一)　对数函数性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0<k<1　　　　　　 B．0≤k<1

C．k≤0或k≥1  D．k＝0或k≥1

解析：选C　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.

2．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中不正确的有(　　)

A．A∪B＝B  B．A∩B＝∅

C．A＝B  D．A⊆B

解析：选BC　由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A⊆B.

3．已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则(　　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数

C．f(x)是R上的增函数

D．f(x)是R上的减函数

解析：选A　因为f(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数．故选A.

4．(2021·浙江杭州西湖区高一月考)若定义运算f(a⊗b)＝则函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域是(　　)

A．(－1，1)  B．[0，1)

C．[0，＋∞)  D．[0，1]

解析：选B　∵f(a⊗b)＝

∴y＝f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))＝

当0≤x<1时，函数y＝log2(1＋x)，因为y＝log2(1＋x)在[0，1)上为增函数，所以y∈[0，1)．

当－1<x<0时，函数y＝log2(1－x)，因为y＝log2(1－x)在(－1，0)上为减函数，所以y∈(0，1)．

综上可得y∈[0，1)，

所以函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域为[0，1)，故选B.

5．(多选)关于函数f(x)＝lg ，正确的结论是(　　)

A．函数f(x)的定义域是(0，＋∞)

B．函数f(x)是奇函数

C．函数f(x)的最小值为－lg 2

D．当0<x<1时，函数f(x)是增函数；当x>1时，函数f(x)是减函数

解析：选AD　由>0知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，所以A正确，B错误；f(x)＝lg ＝－lg≤－lg 2，即函数f(x)的最大值为－lg 2，所以C错误；令y＝x＋，当0<x<1时，该函数是减函数；当x>1时，该函数是增函数．而函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以D正确．

6．已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等 式f(log4x)<0的解集是________．

解析：由题意可知，f(log4x)<0⇔－<log4x<⇔4－<x<4⇔<x<2.

答案：

7．已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________．

解析：若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，且a>0，a≠1，当x≤2时，y＝3－x≥1，

所以可得1<a≤2.

答案：(1，2]

8．已知函数f(x)＝|lg x|＋2，若实数a，b满足b>a>0，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．

解析：由f(x)的图象可知，0<a<1<b，

又f(a)＝f(b)，因此|lg a|＝|lg b|，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，

设g(a)＝a＋(0<a<1)．

因为g(a)在(0，1)上为减函数，所以g(a)>g(1)＝3，即a＋>3，所以a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．

答案：(3，＋∞)

9．根据函数f(x)＝log2x的图象与性质解决以下问题．

(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[1，14]上的最值．

解：函数y＝log2x的图象如图．

(1)y＝log2x是增函数，若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2.

∴a的取值范围为(2，＋∞)．

(2)∵1≤x≤14，∴1≤2x－1≤27，

∴0≤log2(2x－1)≤log227.

∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[1，14]上的最小值为0，最大值为log227.

10．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，∴a＋5＝4，得a＝－1，

∴f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，

即函数f(x)的定义域为(－1，3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．

(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，

令h(x)＝ax2＋2x＋3，则h(x)min＝1，

∴解得a＝，

∴存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.

[B级　综合运用]

11．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A　法一：依据偶函数的定义列方程求解．

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，

∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，

∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.

法二：由于f(x)＝xln(x＋)为偶函数，又y＝x为奇函数，∴g(x)＝ln(x＋)为奇函数，

∴g(－x)＝－g(x)，即ln(－x＋)＝－ln(x＋)，

∴ln a＝0，即a＝1.

12．已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)>0，则此函数的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(1，＋∞)

解析：选D　∵f(2)＝loga5>0＝loga1，∴a>1.

由x2＋2x－3>0得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．

又∵y＝logau(a>1)在(0，＋∞)上也为增函数，

∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.

13．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．若方程f(x)＝b仅有一个解，则b的范围是________．

解析：函数f(x)的图象如图所示，要使y＝a与f(x)有两个不同的交点，则0<a≤1；方程f(x)＝b仅有一个解，即y＝b与函数f(x)的图象有一个交点，此时b≤0或b>1，故b的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．

答案：(0，1]　(－∞，0]∪(1，＋∞)

14．声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．

(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；

(2)平时人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级．

解：(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为I1＝1 W/m2，相应的声强级为L＝10lg ＝10lg＝120(dB)；

一般正常人能听到的最低声强为I2＝10－12 W/m2，相应的声强级为L＝10lg ＝10lg＝0(dB)．

显然，函数LI＝10lg在定义域上是增函数，故一般正常人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．

(2)平时人交谈时的声强约为I3＝10－6 W/m2，相应的声强级为LI3＝10lg＝10lg＝60(dB)．

[C级　拓展探究]

15．(2021·泰州高一质检)已知函数f(x)＝ln ， 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1.

(1)若f(x)为偶函数，试确定a, b满足的等量关系；

(2)已知n∈N＋，试比较f(n)和的大小关系，并证明你的结论．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)，

即ln ＝ln ，所以＝，

由＝＝，由题知a＋b>0，所以ab＝1，

此时f(x)＝ln ＝ln ＝ln ，

因为函数f(x)是定义域为R，关于坐标原点对称，

又f(－x)＝ln＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

故当ab＝1时，满足题意．

综上ab＝1.

(2)f(n)－＝ln －ln

＝ln －ln ，

因为>0, >0，

所以－

＝

＝－≤0，

即≤ ，所以ln ≤ln .

即f(n)≤.