高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数练习

课时跟踪检测(二十九)　对数的运算法则

[A级　基础巩固]

1．计算(log312－2log32)＝(　　)

A．0　　　 B．1　　　　

C．2　　　 D．4

解析：选B　log64＋log63＝log64＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴(log312－2log32)＝1，故选B.

2．(多选)下列运算中正确的有(　　)

A．lg 6＝lg 2＋lg 3  B．log29＝

C．log58＝  D．log312＝2lg 2

解析：选ABC　根据对数的运算性质可知选项A、B、C均正确．

3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)

A．1033  B．1053  

C．1073  D．1093

解析：选D　由已知得，lg＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.

4．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值是(　　)

A．1  B．2  

C．3  D．4

解析：选B　由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.

5．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．等边三角形  D．钝角三角形

解析：选B　由题意知Δ＝0，即(－2)2－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0，化简得2lg a－lg(c2－b2)＝0，所以

lg ＝0，所以＝1，所以a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．

6．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N＋，则下列各式：

①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；

③logax＝－loga；④ ＝logax；

⑤＝loga.

其中正确的是________．

解析：根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知③与⑤正确．

答案：③⑤

7．化简：log3＋log3＋log3＋…＋log3＝________．

解析：原式＝log3＝log3＝－4.

答案：－4

8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．

解析：由2x＝3得x＝log23，

∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.

答案：3

9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．

解：因为v＝ln＝2 000·ln，

所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．

故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.

10．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.

(1)求使2x＝py成立的p的值；

(2)求证：＝－.

解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，

由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，

因为log3k≠0，所以p＝4log32.

(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.

[B级　综合运用]

11．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，现把满足乘积f(1)·f(2)·…·f(n)为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1，2 021)内所有“贺数”的个数是(　　)

A．9  B．10  

C．29  D．210

解析：选A　f(n)＝logn＋1(n＋2)＝，

∴f(1)·f(2)·…·f(n)＝··…·＝＝log2(n＋2)．

∵n∈(1，2 021)，∴n＋2∈(3，2 023)．

∵210＝1 024，211＝2 048，

∴在(3，2 023)内，有22，23，…，210共9个2的幂，故选A.

12．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.

(1)log2＋log2＝________；

(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，则＝________．

解析：(1)原式＝log2

＝log2＝log2

＝log22＝1.

(2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0， ①

由log8(a＋b－c)＝，得a＋b－c＝4， ②

由题设知a2＋b2＝c2， ③

由①②③及a，b，c为正数，可得a＝6，b＝8，c＝10.所以＝＝3.

答案：(1)1　(2)3