高中湘教版（2019）4.2 指数函数当堂达标检测题

这是一份高中湘教版（2019）4.2 指数函数当堂达标检测题，共18页。试卷主要包含了下列函数中指数函数的个数是，函数y=1-12x的定义域是等内容，欢迎下载使用。

题组一 指数函数的概念
1.下列函数中指数函数的个数是( )
①y=2x;②y=x2;③y=2x+1;④y=xx;⑤y=(6a-3)xa>12且a≠23.
A.0B.1C.2D.3
2.已知指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(6)=( )
A.34 B.164C.43 D.112
3.已知函数f(x)=2x,x≥3,f(x+1),x<3,则f(0)的值为 .
4.(2020北京石景山高一上期末)已知函数f(x)是指数函数,如果f(3)=9f(1),那么f(8) f(4)(填“>”“<”或“=”).
题组二 指数函数的图象
5.要得到函数f(x)=21-x的图象,可以将( )
A.函数y=2x的图象向左平移1个单位长度
B.函数y=2x的图象向右平移1个单位长度
C.函数y=2-x的图象向左平移1个单位长度
D.函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度
6.当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的大致图象是( )
A BC D
7.已知y1=13x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为( )
8.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
题组三 指数(型)函数的性质及简单应用
9.函数y=1-12x的定义域是( )
A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.[0,+∞)D.(-∞,0]
10.函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是( )
A.[0,1]B.[-1,0]C.0,12D.-12,0
11.函数y=ax(a>0,a≠1)在[0,2]上的最大值与最小值的差为2,则a的值为 ( )
A.2B.3C.2D.3
12.(2021山东济宁高一上期中)不等式122x2-1>124-3x的解集为 .
13.若函数y=6-x2+ax在区间(-∞,1]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
14.比较下列各组数中两个数的大小.
(1)12-3与12-1.7;
(2)23-45与3267;
(3)279与14-49;
(4)a-35与a-47(其中a>0且a≠1).
15.(2020江苏常州教学研究合作联盟高一上期中)已知函数f(x)=m2x-1-1是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
16.已知函数f(x)=ax+k-a-x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,且不等式f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0对任意t∈[-1,1]恒成立,求实数x的取值范围.
题组四 指数型函数模型的应用
17.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后,若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为( )
A.y=B.y=360×1.04x
C.y=360×D.y=
18.(2021山东青岛胶州高一上期中)专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情爆发系数f(t)之间满足函数模型:f(t)=11+e-0.22(t-50),当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积爆发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3)( )
A.38B.40C.45D.47
19.(2021天津河东高一上期中)某种细菌在培养过程中,每20 min分裂一次,由1个细菌分裂成2个细菌,经过3 h,这种细菌可由1个分裂成 个.
20.(2019湖北荆州沙市中学高一月考)光线通过1块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度变为y.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少?
(参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12)
能力提升练
题组一 指数(型)函数的图象及应用
1.()如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E,B,则a等于( )
A.2B.3C.2D.3
2.()若函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象与直线y=2a有两个公共点,则实数a的取值范围是 .
3.()已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9).
(1)求a+b的值;
(2)当x≤-3时,函数y=1ax+1b的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,求实数t的取值范围.
题组二 指数(型)函数的性质及应用
4.()若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为9,最小值为n,且函数g(x)=(4n-1)x+1在[-1,+∞)上是减函数,则a=( )
A.3B.19 C.9D.13
5.()若函数f(x)=a2x2-ax+1(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2)B.(0,1)
C.(1,4]D.[4,+∞)
6.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)已知a>0,设函数f(x)=2 019x+1+32 019x+1(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N=( )
A.2 025B.2 022
C.2 020D.2 019
7.(多选)()高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=2x1+2x-12,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
8.(2020山东济南兖州实验高级中学高一期末,)已知函数f(x)=2ax-4+a2ax+a(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(1,2)时,2+mf(x)-2x>0恒成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C ①是指数函数;②的底数不是常数,故不是指数函数;③的指数是x+1,而不是x,故不是指数函数;④的底数不是常数,故不是指数函数;⑤因为a>12且a≠23,所以6a-3>0且6a-3≠1,故是指数函数.所以指数函数的个数是2,故选C.
2.B 设f(x)=ax(a>0且a≠1).
∵f(x)的图象过点(-2,4),
∴f(-2)=a-2=4,解得a=12,
∴f(6)=126=164.故选B.
3.答案 8
解析 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=23=8.
4.答案 >
解析 设f(x)=ax(a>0,且a≠1).
依题意得f(3)=a3=9f(1)=9a1,即a(a+3)·(a-3)=0,解得a=0(舍去)或a=3或a=-3(舍去),所以f(x)=3x.
因此f(4)=34,f(8)=38=34×34,
所以f(8)>f(4).
5.D 将函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度后可得y=2-(x-1)=21-x的图象.故选D.
6.A 当a>1时,函数y=ax为增函数,函数y=(a-1)x2的图象开口向上,且对称轴为y轴,故选A.
7.A y2=3x与y4=10x是增函数,y1=13x与y3=10-x=110x是减函数,在第一象限内作直线x=1(图略),该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知选A.
8.C 易知f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,
∴g(x)为减函数,且过点(0,1),
∴函数g(x)的图象不经过第三象限.
故选C.
9.C 易得1-12x≥0,即12x≤1=120,解得x≥0,
因此函数y=1-12x的定义域为[0,+∞).故选C.
10.B 令f(x)=2x,由指数函数的性质可得f(x)=2x是增函数,
∴当x∈[0,1]时,f(0)≤f(x)≤f(1),即1≤f(x)≤2,∴-2≤-2x≤-1,
∴-1≤1-2x≤0,
∴函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域为[-1,0].故选B.
11.B 当a>1时,函数y=ax单调递增,则在[0,2]上的最大值与最小值的差为a2-a0=2,解得a=3(a=-3舍去).
当0所以a=3.
故选B.
12.答案 -52,1
解析 ∵122x2-1>124-3x,y=12x在R上是减函数,
∴2x2-1<4-3x,解得-52∴不等式的解集为-52,1.
13.答案 [2,+∞)
解析 函数y=6-x2+ax是由y=6u与u=-x2+ax复合而成的,y=6u在R上单调递增,u=-x2+ax的图象的对称轴为直线x=a2,故a2≥1,解得a≥2.
14.解析 (1)∵y=12x为减函数,且-3<-1.7,
∴12-3>12-1.7.
(2)∵23-45=3245,y=32x为增函数,且45<67,∴23-45<3267.
(3)∵14-49=289,y=2x为增函数,且79<89,∴279<14-49.
(4)当a>1时,y=ax单调递增,又-35<-47,∴a-35当0a-47.
15.解析 (1)由题意知2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为{x|x≠0},
由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则m2-x-1-1=-m2x-1+1,即m·2x1-2x=-m2x-1+2,即m·2x=m+2(1-2x),即(m+2)(2x-1)=0对于定义域中的任意x都成立,所以m=-2.
经检验,m=-2时, f(x)是奇函数.
(2)证明:由(1)知f(x)=-22x-1-1.
在(0,+∞)内任取x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=-22x1-1-1- -22x2-1+1=-2(2x2-2x1)(2x1-1)(2x2-1),
∵0∴2x1-1>0,2x2-1>0,2x2-2x1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
16.解析 (1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=ak-1=0,解得k=0,
当k=0时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数,符合题意.
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x,
由f(1)<0得a-1a<0,所以0所以f(x)=ax-a-x是R上的减函数.
因为f(x)为奇函数,所以由f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0得f(3tx+4)≤-f(-2x2+1)=f(2x2-1).
因为f(x)是R上的减函数,所以3tx+4≥2x2-1对任意t∈[-1,1]恒成立.
令g(t)=3tx+4-2x2+1=3tx+5-2x2,
则g(t)≥0对任意t∈[-1,1]恒成立,
所以g(1)=3x+5-2x2≥0,g(-1)=-3x+5-2x2≥0,
解得-1≤x≤1,所以实数x的取值范围是[-1,1].
17.D 设该乡镇现在人口数为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,
1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数为M(1+1.2%),
则人均占有粮食360M(1+4%)M(1+1.2%)千克,
2年后,人均占有粮食360M(1+4%)2M(1+1.2%)2千克,
……
经过x年后,人均占有粮食360M(1+4%)xM(1+1.2%)x千克,
则所求解析式为y=
18.B 令11+e-0.22(t-50)=0.1,
即1+e-0.22(t-50)=10,得e-0.22(t-50)=9,
而e-0.22(t-50)=e1.1×(-0.2)(t-50)=(e1.1)-0.2(t-50),
又e1.1≈3,∴3-0.2(t-50)=9,
即-0.2(t-50)=2,得t-50=-10,即t=40.故选B.
19.答案 512
解析 设经过x h,这种细菌可由1个分裂成y个,由题意可得y=23x,当x=3时,可得y=29=512,
故答案为512.
20.解析 (1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)k=0.9k;
光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)·0.9k=0.92k;
光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)·0.92k=0.93k;
……
光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk,
∴y=0.9xk(x∈N+).
(2)将x=20代入函数解析式,
得y=0.920k≈0.12k,
即光线强度约为0.12k.
能力提升练
1.A 设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A8m,m,E4m,m,B8m,2m.因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以m=a4m,①2m=a8m,②
①式两边平方得m2=a8m,③
②③联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m=2,所以a=2或a=-2(舍去).
2.答案 0解析 在平面直角坐标系中作出函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的大致图象.
当0图1
当a>1时(如图2),2a>2,两个函数图象不可能有两个公共点.
图2
所以满足题意的a的取值范围是03.解析 (1)∵函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9),
∴ba=1,ba3=9,
∴a2=9,
∴a=3(a=-3舍去),b=13,
∴a+b=103.
(2)由(1)得当x≤-3时,函数y=13x+3的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,
即当x≤-3时,不等式13x+3-2x-t>0恒成立,亦即当x≤-3时,t<13x+3-2xmin.
设g(x)=13x+3-2x(x≤-3),
∵y=13x在(-∞,-3]上单调递减,y=-2x在(-∞,-3]上单调递减,
∴g(x)=13x+3-2x在(-∞,-3]上单调递减,
∴g(x)min=g(-3)=36,
∴t<36.
4.B ∵g(x)=(4n-1)x+1在[-1,+∞)上是减函数,
∴4n-1<0,解得n<14.
当a>1时,f(x)的最大值为a2=9,即a=3(负值舍去),最小值n=3-1=13>14,不符合题意;
当0综上所述,a=19.故选B.
5.C 当0因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,
所以0当a>1时,f(x)在-∞,a4上单调递减,在a4,+∞上单调递增,
因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,
所以a>1,a4≤1,解得1所以a的取值范围为(1,4],故选C.
6.B f(x)=2 019x+1+2 019-2 0162 019x+1=2 019-2 0161+2 019x,
∴f(-x)=2 019-2 0162 019-x+1=2 019-2 016×2 019x2 019x+1.
∴f(x)+f(-x)=4 038-2 016·12 019x+1+2 019x2 019x+1=4 038-2 016=2 022.
易得f(x)在[-a,a]上是增函数,
∴M+N=f(a)+f(-a)=2 022,故选B.
7.BC ∵g(1)=[f(1)]=21+2-12=0,g(-1)=[f(-1)]=2-11+2-1-12=-1,
∴g(-1)≠g(1),∴g(x)不是偶函数,故A错误;
∵f(x)=2x1+2x-12的定义域为R,
f(-x)+f(x)=2-x1+2-x+2x1+2x-1=2x·2-x2x(1+2-x)+2x1+2x-1=1+2x1+2x-1=0,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数,故B正确;
∵f(x)=2x1+2x-12=1+2x-11+2x-12=12-11+2x,且y=2x在R上是增函数,
∴f(x)=12-11+2x在R上是增函数,故C正确;
∵2x>0,∴1+2x>1,
∴0<11+2x<1,
∴-12<12-11+2x<12,即-12∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D错误.
故选BC.
8.解析 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=2-4+a2+a=0,解得a=2.经检验,满足题意.
(2)由(1)知f(x)=2·2x-22·2x+2=2x-12x+1=1-22x+1,易知f(x)在R上单调递增,
∵2x+1>1,∴-2<-22x+1<0,
∴-1<1-22x+1<1,
∴函数f(x)的值域为(-1,1).
(3)∵2+mf(x)-2x>0,
∴mf(x)>2x-2,
∴mf(x)=m·2x-12x+1>2x-2.
当x∈(1,2)时,m>(2x+1)(2x-2)2x-1,
令2x-1=t(1(t+2)(t-1)t=t-2t+1,
令y=t-2t+1(1∵函数y=t-2t+1在(1,3)上为增函数,
∴t-2t+1<3-23+1=103,
∴m≥103,
∴实数m的取值范围为103,+∞.