高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.3 对数函数第二课时学案

第二课时　对数函数性质的应用(习题课)

角度一　比较对数值的大小

[例1]　(链接教科书第119页例11)比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln 0.3，ln 2；

(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；

(3)log30.2，log40.2；

(4)log3π，logπ3.

[解]　(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.

(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

  综上所述，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2；

当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.

(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，

即log30.2＜log40.2.

(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，

所以log3π＞log33＝1.

同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；

(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．　　　　

角度二　求解对数不等式

[例2]　解不等式：

(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；

(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．

[解]　(1)原不等式等价于

解得＜x≤3.

所以不等式的解集为.

(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．

当a＞1时，

不等式等价于 无解．

当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.

综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．

常见对数不等式的2种解法

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　

角度三　求对数型函数的单调区间

[例3]　求函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调区间．

[解]　设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，由于 t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝logt在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)．

1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．

2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)型．　　　　

[跟踪训练]

1．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b

C．c＞b＞a  D．c＞a＞b

解析：选D　∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.故选D.

2．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．

解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.

答案：(2，＋∞)

[例4]　已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

[解]　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，

∴当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a.

∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，

∴a的取值范围为(0，1)∪.

(2)令t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．

∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，

∴y＝logat为增函数，∴a>1.

当x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

1．对数函数性质的综合应用注意以下3点

(1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)；

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；

(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．　　　　

2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性，首先要确保f(x)>0，

(1)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；

(2)当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．

[跟踪训练]

(2021·东台中学月考)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．

解：(1)要使此函数有意义，则有或

解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．

∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

f(x)＝loga＝loga，

函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，∴当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增.

[例5]　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；

(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

[解]　(1)由题意知y＝

(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，

即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.

∴老江的销售利润是34万元．

实际问题中对数函数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算性质，注意变量的实际意义．　　　　

[跟踪训练]

某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　)

A．300只　　　　　 B．400只

C．500只  D．600只

解析：选A　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.

对数型函数的奇偶性问题

对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，得到的对数型复合函数就具有奇偶性了，如y＝log2|x|就是偶函数．一般利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断这类函数的奇偶性．

为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或利用定义的等价形式进行判断：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)．其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的判断，＝±1多用于指数型函数奇偶性的判断．

[问题探究]

1．已知函数f(x)＝log2(＋x)，试判断其奇偶性．

提示：由f(x)知x∈R，

又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)

＝log21＝0.∴f(x)为奇函数．

2．探究1中函数若变为f(x)＝log2(－x)，f(x)还是奇函数吗？

提示：是．

3．若给出f(x)＝log2，其奇偶性怎样？

提示：由>0知－1<x<1，其定义域关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝log2 ＋log2 ＝log21＝0.

∴f(x)为奇函数．

4．探究3中函数若变为f(x)＝loga(a>0，且m≠0)，其奇偶性又怎样？

提示：奇函数．

[迁移应用]

已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．

解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，

∴f(a)＋f(－a)＝2.∵f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.

答案：－2

1．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　　 B．b＞a＞c

C．a＞c＞b  D．c＞a＞b

解析：选A　因为a＝log23.4＞1，0＜b＝log43.6＜1，c＝log30.3＜0，所以a＞b＞c，故选A.

2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)

A．(－∞，7]  B．(2，7]

C．[7，＋∞)  D．(2，＋∞)

解析：选B　∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2，7]，故选B.

3．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：选D　因为a＞1，所以y＝logax在[a，2a]上是增函数．

所以loga(2a)－logaa＝，

即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.

4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.

答案：

5．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．

解析：因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，

所以解得－2＜x＜1.

答案：(－2，1)