高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数教课课件ppt

4.3.2　对数的运算法则

知识点1　对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；

(3)loga＝logaM－logaN.

当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？

[提示]　不一定．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)log2x2＝2log2x.  (　　)

(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)

(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2.计算log84＋log82等于(　　)

A．log86 B．8

C．6 D．1

D　[log84＋log82＝log88＝1．]

3.计算log510－log52等于(　　)

A．log58 B．lg 5

C．1 D．2

C　[log510－log52＝log55＝1．]

知识点2　常用对数与自然对数

4.(1)lg 100＝________，(2)ln ＝________.

(1)2　(2)－1　[(1)lg 100＝lg 102＝2；

(2)ln ＝ln e－1＝－1．]

知识点3　对数的换底公式

若b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0，则有logbN＝.

几个常用推论：

(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；

(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；

(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．

5.(多选题)下列等式正确的有(　　)

A．log34＝ B．log34＝

C．log34＝ D．log34＝

[答案]　ABC

类型1　对数的运算法则的应用

【例1】　计算下列各式的值：

(1)lg －lg ＋lg ；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；

(3).

[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)

＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2

＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝

＝

＝

＝.

1．利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．

2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：

(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；

(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．

1．求下列各式的值：

(1)lg25＋lg 2·lg 50；

(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.

[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．

(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25

＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5

＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5

＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.

类型2　对数的换底公式

【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)；

(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．

[解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.

(2)∵18b＝5，∴b＝log185.

又log189＝a，

∴log3645＝＝＝＝.

利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

2．求值：

(1)log23·log35·log516；

(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．

[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.

(2)原式＝

＝

＝·

＝.

类型3　对数的运算法则的综合应用

【例3】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；

(2)已知3x＝4y＝6z，求证：＋＝.

以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题.

[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436.

∴＝＝＝2log363＝log369，＝＝＝log364.∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1．

(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m.

所以＝＝logm3，＝＝logm4，＝＝logm6.

故＋＝logm3＋logm4＝logm3＋logm4＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝.

条件求值问题的求解方法

带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便 利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．

3．已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．

[解]　∵3a＝5b＝c，

∴a＝log3c，b＝log5c，

∴＝logc3，＝logc5，

∴＋＝logc15.

由logc15＝2得c2＝15，即c＝.

1.2log510＋log50.25＝(　　)

A．0　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．4

C　[∵2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.∴选C．]

2．计算log92·log43＝(　　)

A．4 B．2

C． D．

D　[log92·log43＝·＝·＝.]

3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)

A． B．

C．ab D．a＋b

B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，

∴log26＝＝＝.]

4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N＋，则下列各式：

(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；

(3)logax＝－loga；(4)＝logax；

(5)＝loga.

其中正确的有________．(填序号)

(3)(5)　[根据对数的运算法则logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]

5．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.

1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，

∴＝log102＝lg 2，＝lg 5，

∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．对数的运算法则有哪些？

[提示]　(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM.

其中(a>0且a≠1，M>0，N>0)

2．你能用对数的换底公式证明logNnMm＝logNM吗？

[提示]　能．logNnMm＝＝＝logNM.

3．常见的换底公式变形有哪些？

[提示]　(1)logab＝＝＝(其中a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1)．

(2)logab·logba＝1(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1)．