数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直测试题

专题强化练5　空间中的平行关系

一、选择题

1.(2021安徽亳州高二上期末,)已知直线l和两个不同的平面α,β,若α⊥β,则“l∥α”是“l∥β”的              (　　)

A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件

2.(2021安徽合肥高一下期末,)已知直线m,n和平面α,β,给出下列四个命题,其中正确的是              (　　)

A.若m∥α,n∥α,则m∥n  B.若n∥α,m∥β,α∥β,则n∥m

C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β  D.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α

3.()如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则点D1与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为              (　　)

A.

二、填空题

4.(原创)()课堂上老师要求同学们用纸折出常见棱锥,小明同学折出了一个棱长均为10 cm的正三棱锥,又折出了一个棱长均为10 cm的正四棱锥,然后他突发奇想,将正三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全粘在一起,得到一个新的多面体,则新多面体的面的个数为　　　　. 

5.(2020陕西西安西北工业大学附属中学高三下月考,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a,S是A1B1的中点,P是A1D1的中点,点Q在正方形DCC1D1及其内部运动,若PQ∥平面SC1B,则点Q的轨迹的长度是　　　　. 

三、解答题

6.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥DC,DC=2AB,E为PD的中点,点M在线段PC上,且DC∥平面AEM.

(1)证明:EM∥平面ABP;

(2)若F为DC上的动点,试问是否存在点F,使得平面AEF∥平面PBC?若存在,指出点F的位置;若不存在,请说明理由.

7.()如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F,G分别为BC,PB,AD的中点.

(1)证明:EF∥平面PAC;

(2)证明:平面PCG∥平面AEF;

(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.

答案全解全析

一、选择题

1.D　当α⊥β,l∥α时,直线l可能平行于平面β,也可能在平面β内,故充分性不成立;

当α⊥β,l∥β时,直线l可能平行于平面α,也可能在平面α内,故必要性不成立.

2.D　对于A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或异面,故A错误;

对于B,若n∥α,m∥β,α∥β,则m与n可能相交、平行或异面,故B错误;

对于C,若α⊥β,m⊂α,则m⊥β或m∥β或m与β相交,故C错误;

对于D,若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α,故D正确.

故选D.

3.D　如图,连接D1A,AC,D1C.

因为E,F分别为AB,BC的中点,

所以AC∥EF,

因为EF⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,

所以EF∥平面ACD1.

因为E,G分别为AB,C1D1的中点,所以AE?D1G,所以四边形AEGD1为平行四边形,所以EG∥AD1,

因为EG⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以EG∥平面ACD1.

又EF∩EG=E,所以平面ACD1∥平面EFG,

所以点P在线段AC上,

则点D1与满足题意的点P构成的平面截长方体所得的截面为△ACD1,

在△ACD1中,AD1=,AC=2,CD1=2,

所以.

二、填空题

4.答案　5

解析　如图,分别取BE,CD的中点M,N,连接FM,MN,AN.

易知F,A,N,M四点共面,AN=FM,AF=MN,

故四边形FANM为平行四边形,所以FA∥MN.

因为MN∥BC,所以FA∥BC,故三角形FAB与三角形ABC在同一个平面内,

同理三角形FAE与三角形AED在同一个平面内,

所以此多面体共有5个面.

5.答案　a

解析　如图所示,在线段D1C1上取点M,使得D1M=D1C1,连接PM.在线段CD上取点N,使得CN=CD,连接MN,PN.设H为D1C1的中点,连接A1H,SH,CH,

则有PM∥A1H,A1H∥SC1,

∴PM∥SC1.

∵PM⊄平面SC1B,SC1⊂平面SC1B,

∴PM∥平面SC1B,

易得SB∥CH,CH∥MN,∴MN∥SB,

同理可得MN∥平面SC1B,

∵PM∩MN=M,PM,PN⊂平面PMN,

∴平面SC1B∥平面PMN,

又平面PMN∩平面DCC1D1=MN,

∴当点Q在线段MN上运动时,有PQ∥平面SC1B,∴点Q的轨迹为线段MN.

∵MN=CH=a,

∴点Q的轨迹的长度是a.

三、解答题

6.解析　(1)证明:因为DC∥平面AEM,DC⊂平面PDC,且平面AEM∩平面PDC=EM,

所以根据线面平行的性质定理可得DC∥EM.

因为DC∥AB,所以EM∥AB,

因为EM⊄平面ABP,AB⊂平面ABP,

所以EM∥平面ABP.

(2)存在点F满足条件,F为CD的中点.

如图,连接BM,因为E为PD的中点,EM∥DC,

所以M为PC的中点,且EM=DC.

因为AB∥DC,DC=2AB,所以AB∥EM,且AB=EM,

所以四边形ABME为平行四边形,所以AE∥BM.

因为F为DC的中点,所以EF∥PC.

因为EF∩AE=E,PC∩BM=M,所以平面AEF∥平面PBC.

7.解析　(1)证明:∵E,F分别是BC,BP的中点,∴EF∥PC.

∵PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,

∴EF∥平面PAC.

(2)证明:∵E,G分别是BC,AD的中点,AD?BC,∴AG?CE,

∴四边形AECG为平行四边形,

∴AE∥CG.

∵AE⊄平面PCG,CG⊂平面PCG,

∴AE∥平面PCG.

∵EF∥PC,PC⊂平面PCG,EF⊄平面PCG,

∴EF∥平面PCG.

∵AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,

∴平面PCG∥平面AEF.

(3)如图,设GC,AE与BD分别交于M,N两点,连接PM,FN.

由(2)知平面AEF∥平面PCG,

又平面AEF∩平面PBD=FN,平面PCG∩平面PBD=PM,∴FN∥PM.

∵PM⊂平面PGC,FN⊄平面PGC,

∴FN∥平面PGC,

∴点N即为所找的H点.