高中人教A版 (2019)8.6 空间直线、平面的垂直获奖ppt课件

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面面垂直定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β
定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。符号语言：l α，l⊥β，则α⊥β。
接下来我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些性质.如果两个平面互相垂直，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.
探究 如图，设α⊥β，α∩β=a. 则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？
显然，b与a平行或相交，当b//a时，b//α，当b与a相交时，b与α也相交.
下面我们分析，当b⊥a时，b与α有什么位置关系？
结论：若α⊥β, α∩β=a, b⊂β, b⊥a, 则b⊥α .
这是平面与平面垂直的性质定理.
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
这个定理可以用于证明直线与平面垂直.
探究 设α⊥β，P⊂α，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系?
如图示，过点P在α内作直线b⊥c，则b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与β垂直， 所以直线a与直线b重合，因此aα.
解：aα，理由如下：
思考 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系. 如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论?
例10 已知：如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB.
证明：过点A作AD⊥PB，垂足为D.∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平PBC=PB，∴AD⊥平面PBC.∵BC平面PBC，∴BC⊥AD.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA.又PA∩AD=A，∴BC⊥平面PAB.
练习一：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1
证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，∴平面AB1C⊥A1BC1
练习二：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图，因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD中点，所以BG⊥AD。又因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因为PB属于平面PGB，所以AD⊥PB。
（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD如图设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF属于平面DEF，DE属于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD属于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD
规律方法 证明两两垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直.(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；
由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；
由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;
而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直 .
这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
解：（1）×（2）√（3）√ .
2. 若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是( ). (1) 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线. (2) 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线. (3) 平面α内的任一条直线必垂直于平面β. (4) 过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
3. 已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解：a//β. 理由如下：
4. 已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a//α，a⊥AB，判断直线a与平面β的位置关系，并说明理由.
1、已知两平面互相垂直,下列命题中正确 的有__个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个 平面；④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此 垂线必垂直于另一个平面。 A 3; B 2 ; C 1 ; D 0.
在γ 内任取一点A(不在m, n上) ,
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
在γ 内过A点作直线 b⊥m，
在α 内作直线 a ⊥n
3. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
∴平面PBC⊥平面PAC
4、如图所示，四棱锥P-ABCD是菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD。证明：平面PBE⊥平面PAB
证明：如图，连接BD,由四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，知△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，∴BE⊥CD，又AB//CD所以BE⊥AB又因为PA⊥平面ABCD，BE在平面ABCD内，所以PA垂直BE又PA∩AB=A，因此BE垂直平面PAB又BE在平面PBE内，所以平面PBE⊥平面PAB
5、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD证明：AB⊥平面VAD
证明：由于面VAD是正三角形设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD则VE⊥AB，又面ABCD是正方形，则AB⊥AD故AB面VAD。
2、面面垂直的性质推论：
1、平面与平面垂直的性质定理：