人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

8.6.3 平面与平面垂直【学习目标】【自主学习】 一．二面角二．二面角的平面角思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？三．平面与平面垂直及判定定理四．平面与平面垂直的性质定理对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(　　)(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.(　　)(3)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.（　　）(4)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.（　　）(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（　　）2.如图所示的二面角可记为(　　)A．α­β­l B．M­l­N C．l­M­N D．l­β­α【经典例题】题型一　求二面角点拨；求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”例1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)求二面角D′－AB－D的大小；(2)求二面角A′－AB－D的大小．【跟踪训练】1如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝eq \f(1,2)AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．题型二 平面与平面垂直的判定点拨:证明面面垂直常用的方法1.定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；2.判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；3.性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.例2 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．求证：平面PAC⊥平面PBC.【跟踪训练】2 如图，在四棱锥P­ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC⊥平面PBD.题型三 面面垂直性质定理的应用点拨：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.　例3 如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC． 求证：BC⊥AB．【跟踪训练】3 如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD.题型四 线线、线面、面面垂直的综合应用点拨：垂直问题转化关系如下所示：例4 如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD. 【跟踪训练】4 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA.【当堂达标】1.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直2.(多选题)已知l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列命题正确的有(　　)A．α∥β⇒l⊥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥β D．l⊥m⇒α∥β3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)A．60° B．30° C．45° D．15°4..已知PA⊥矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有　　　　对.5.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq \r(3)，AB＝1，BC＝2，AC＝eq \r(3)，求二面角P－CD－B的大小．6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq \f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.【课堂小结】【参考答案】【自主学习】0°≤θ≤180°思考：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,a⊂α))⇒α⊥β eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l))⇒a⊥β【小试牛刀】1. (1)√　(2)√ (3) × 　(4)√ (5) ×　2.B解析：根据二面角的记法规则可知B正确．【经典例题】例1 解 (1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.【跟踪训练】1 解：因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面 ACD．因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq \f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.例2 证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A.PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.【跟踪训练】2证明　因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD. 例3 证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．【跟踪训练】3证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊂平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.例4 证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.【跟踪训练】4 证明：（1）如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EC⊥BC.同理可得BD⊥AB，易知DF∥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝eq \f(1,2)EC，EC＝2BD，所以EF＝BD.又FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.（2）取CA的中点N，连接MN，BN，MN∥EC，且MN＝eq \f(1,2)EC.因为EC∥BD，BD＝eq \f(1,2)EC，所以MN∥BD，MN=BD，所以N点在平面BDM内.因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA. 【当堂达标】1.C解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C．2.AC解析：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故C正确．3.C 解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.4. 5 解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对.5.解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝eq \r(3)，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝eq \r(3)，AC＝eq \r(3)，∴∠PCA＝45°.故二面角P－CD－B的大小为45°.6.证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.素 养 目 标学 科 素 养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系．3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化． 1.直观想象;2.逻辑推理；3.数学运算定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q范围 文字语言在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角图形语言符号语言α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB为二面角α－l－β的平面角定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：判定定理文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示： 文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言 图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线