人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案及答案

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8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直【学习目标】【自主学习】 一．异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线 与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成角的范围为(0°，90°]，思考：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？二．空间两直线垂直如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作 .【小试牛刀】1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)A．共面　　　 B．平行C．异面 D．平行或异面2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 .【经典例题】题型一 异面直线所成的角点拨：求两异面直线所成的角的三个步骤1.作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；2.证：证明作出的角就是要求的角；3.计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.例1 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【跟踪训练】1 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2eq \r(5)，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．题型二 直线与直线垂直的证明点拨：(1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.例2 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．【跟踪训练】2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.【当堂达标】1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)A．45° B．60°C．90° D．120°2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　 　)A．eq \f(1,5)　　 B．eq \f(\r(5),6)　 　C．eq \f(\r(5),5)　 　 D．eq \f(\r(2),2)3.若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .4.已知正方体ABCD­A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．5.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝eq \r(3)，则异面直线AD、BC所成角的大小是 .6.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．【课堂小结】一、知识必备1.异面直线所成角、线线垂直概念．2.计算异面直线所成角大小的方法．二、方法必备1．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．2．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．【参考答案】【自主学习】a′ b′ 直角 a⊥b 思考：根据等角定理可知，异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．【小试牛刀】1.D 解析：若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2. 65° 解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.【经典例题】例1 解析： (1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．【跟踪训练】1 解：如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，∵D是PC中点，F是AC中点，∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝eq \f(1,2)PA＝2，EF＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(5)，∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.例2 证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以BCeq \o\al(2,1)＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1Ceq \o\al(2,1)＋BCeq \o\al(2,1)，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1．【跟踪训练】2 证明：如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AE＝CE，又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.【当堂达标】1.B 解析：取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.2.C 解析：如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，AD1＝eq \r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq \r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq \f(\r(5),2)，DB1＝eq \r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq \r(5)，所以OM＝eq \f(1,2)AD1＝1．OD＝eq \f(1,2)DB1＝eq \f(\r(5),2).于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq \f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5).3.45°4.(1)60°　(2)45°　解析：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°.5. 60° 解析：设G为AC的中点，如图，连接EG，FG，因为E、F分别是AB、CD中点，∴EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC＝1，FG∥AD，FG＝eq \f(1,2)AD＝1，所以∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)，∵EF＝eq \r(3)，∴三角形EGF中，cos∠EGF＝－eq \f(1,2)，∴∠EGF＝120°，即异面直线AD、BC所成的角为60°.6.解：因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.素 养 目 标学 科 素 养1.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；2.异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明；3.求两异面直线所成的角．1.直观想象;2.逻辑推理；3.数学运算