人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试综合训练题

专题强化练5　空间中的平行关系

一、选择题　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020河北衡水中学高三下月考,)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.(2020山西大同第一中学高三下月考,)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.m∥α,n⊥β,m⊥n B.m∥α,n⊥β,m∥n

C.m∥α,n∥β,m∥n D.m⊥α,n⊥β,m∥n

3.(2020广东惠州高三上期末,)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(　　)

A.- B. C. D.

4.(2020云南曲靖高三上期末,)在四面体A-BCD中,AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,用平行于AB,CD的平面截此四面体,得到截面EFGH,则截面EFGH面积的最大值为(　　)

A. B. C. D.3

二、填空题

5.(2020陕西西安西北工业大学附属中学高三下月考,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a,S是A1B1的中点,P是A1D1的中点,点Q在正方形DCC1D1及其内部运动,若PQ∥平面SBC1,则点Q的轨迹的长度是　　　　. 

6.(2020四川内江高二上期末,)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1交棱AA1于点F,给出下列命题:

①四棱锥B1-BED1F的体积为定值;

②对于棱CC1上任意一点E,在棱AD上均有相应的点G,使得CG∥平面EBD1;

③O为底面ABCD的对角线AC和BD的交点,在棱DD1上存在点H,使OH∥平面EBD1;

④存在唯一的点E,使得四边形BED1F的周长取得最小值.

其中为真命题的是　　　　.(填序号) 

三、解答题

7.(2020广东广州白云高三下月考,)如图,在三棱锥B-ACD中,BD⊥平面ACD,且BD=1,BC=AD=2,CD=,∠ADC=30°,E、F分别为△ABD,△CBD的重心.

(1)求证:AC∥平面BEF;

(2)求四面体B-DEF的体积.

8.(2020山东滕州第一中学高一线上测试,)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,M是线段B1D1上的一个动点,E,F 分别是 BC, CM 的中点.

(1)求证:EF∥平面 BDD1B1;

(2)在棱 CD 上是否存在一点 G,使得平面 GEF∥平面 BDD1B1?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

9.(2020辽宁抚顺六校协作体高二上期末,)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长都为2,D是AC的中点,在线段A1C1上是否存在一点E,使得平面EB1C∥平面A1BD?若存在,请指出点E在线段A1C1上的位置;若不存在,请说明理由.

10.(2019安徽滁州部分高中高一下期末,)如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.

(1)证明:EF∥平面PAC;

(2)证明:平面PCG∥平面AEF;

(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.

答案全解全析

一、选择题

1.B　若l⊥m,m⊥α,则l∥α或l⊂α;若l∥α,m⊥α,则l⊥m.∴“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件,故选B.

2.D　对于选项A、B,若n⊂α,则α⊥β,故A、B不符合;

对于选项C,若α∩β=l,m∥n∥l,m,n为α,β外的直线,显然有m∥α,n∥β,故C不符合;

对于选项D,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,故D符合.

3.D　如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.

易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.

∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.

易得m∥A2A3,直线AA2即为直线n,所以m、n所成的角即为AA2、A2A3所成的角.显然有AA2=AA3=A2A3,所以m、n所成的角为60°,其正弦值为.故选D.

4.B　设截面分别与棱AD、BD、BC、AC交于点E、F、G、H,由直线AB∥平面EFGH,且平面ABC∩平面EFGH=GH,平面ABD∩平面EFGH=EF,得GH∥AB,EF∥AB,

∴GH∥EF,

同理可得EH∥FG,

∴四边形EFGH为平行四边形.

∵AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,

∴△ACD≌△BCD,过点A作AM⊥CD于M,连接BM,则BM⊥CD,∵AM∩BM=M,

∴CD⊥平面ABM,又AB⊂平面ABM,∴CD⊥AB,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH为矩形.

设BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x,0<x<1,则FG=3x,HG=3(1-x),

于是S矩形EFGH=FG·HG=9x(1-x)=-9·+,0<x<1,

当x=时,四边形EFGH的面积取得最大值.故选B.

二、填空题

5.答案　a

解析　如图所示,在线段D1C1上取点M,使得D1M=D1C1,连接PM;在线段CD上取点N,使得CN=CD,连接MN.设H为D1C1的中点,连接A1H,SH,CH,PN,

则有PM∥A1H,A1H∥SC1,

∴PM∥SC1,

∵PM⊄平面SC1B,SC1⊂平面SC1B,

∴PM∥平面SC1B,

易得SB∥CH,CH∥MN,∴MN∥SB,同理可得MN∥平面SC1B,∵PM∩MN=M,PM,PN⊂平面PMN,

∴平面SC1B∥平面PMN,又平面PMN∩平面DCC1D1=MN,

∴当点Q在线段MN上时,有PQ∥平面SBC1,∴点Q的轨迹为线段MN.

∵MN=CH==a,

∴点Q的轨迹的长度是a.

6.答案　①③④

解析　①=+=2.

又三棱锥B1-BED1的体积等于三棱锥D1-BB1E的体积,底面B1BE的面积不变,高D1C1不变,∴三棱锥D1-BB1E的体积不变,∴四棱锥B1-BED1F的体积不变,为定值,故①正确;

②当点E在点C处时,CG与平面EBD1相交,故②错误;

③由O为底面ABCD对角线AC和BD的交点,得DO=DB,设H为DD1的中点,则在△D1DB中,OH∥D1B,又OH⊄平面EBD1,D1B⊂平面EBD1,∴OH∥平面EBD1,故③正确;

④四边形BED1F的周长为2(BE+ED1),则分析BE+ED1即可,将侧面BCC1B1沿着棱CC1展开,使得B在DC延长线上,此时B的位置设为P,则线段D1P与CC1的交点即为四边形BED1F的周长取得最小值时的唯一点E,故④正确.

故答案为①③④.

三、解答题

7.解析　(1)证明:如图,延长BE、BF分别与AD、CD交于点G、H,连接GH.

∵E、F分别为△ABD,△CBD的重心,

∴G、H分别为DA,DC的中点,

∴GH∥AC,又GH⊂平面BEF,AC⊄平面BEF,∴AC∥平面BEF.

(2)△ACD中,根据余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=4+3-6=1,∴AC=1(负值舍去),

∴AD2=AC2+CD2,∴CD⊥AC.

∵BD⊥平面ACD,AC⊂平面ACD,∴BD⊥AC,又CD∩BD=D,∴AC⊥平面BDC.

易知EF∥GH∥AC,∴EF⊥平面BDC.

∵EF=GH=AC=,S△BDF=S△BDH=×=,

∴VB-DEF=S△BDF·EF=.

8.解析　(1)证明:连接BM.∵E,F分别是BC,CM的中点,∴EF∥BM,又EF⊄平面BDD1B1,BM⊂平面BDD1B1,∴EF∥平面BDD1B1.

(2)棱CD上存在一点G,使得平面GEF∥平面BDD1B1,理由如下:

假设在棱CD上存在一点G,使得平面GEF∥平面BDD1B1.

∵平面GEF∩平面ABCD=EG,平面BDD1B1∩平面ABCD=BD,∴EG∥BD,

又∵E是BC的中点,∴G是DC的中点,

此时易证得平面GEF∥平面BDD1B1,∴棱CD上存在一点G,使得平面GEF∥平面BDD1B1,且=1.

9.解析　存在.理由如下:

假设存在点E,使得平面EB1C∥平面A1BD.

∵平面AA1C1C∩平面A1BD=A1D,平面AA1C1C∩平面EB1C=EC,∴A1D∥EC,

由A1C1∥AC得A1E∥CD,

∴四边形A1DCE是平行四边形,∴A1E=CD,∵D是AC的中点,AC=A1C1,∴E是A1C1的中点,此时平面EB1C∥平面A1BD.

∴当E是A1C1的中点时,平面EB1C∥平面A1BD.

10.解析　(1)证明:∵E,F分别是BC,BP的中点,∴EF∥PC.

∵PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,

∴EF∥平面PAC.

(2)证明:∵E,G分别是BC,AD的中点,

AD?BC,∴AG?CE,

∴四边形AECG为平行四边形,

∴AE∥CG.

∵AE⊄平面PCG,CG⊂平面PCG,

∴AE∥平面PCG.

∵EF∥PC,PC⊂平面PCG,EF⊄平面PCG,

∴EF∥平面PCG.∵AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,

∴平面AEF∥平面PCG.

(3)如图,设GC,AE与BD分别交于M,N两点,连接PM,FN,易知F,N分别是BP,BM的中点,

∴FN∥PM,且FN=PM.

∵PM⊂平面PGC,FN⊄平面PGC,

∴FN∥平面PGC,

∴点N即为所找的H点.