高中数学8.6 空间直线、平面的垂直优秀第1课时学案及答案

8.6.3　平面与平面垂直

第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理

知识点1　二面角

1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱，(2)两个半平面叫做二面角的面．

3．画法：

4．记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q．

5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β；

(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB．

6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．

1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？

[提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．

1．如图所示的二面角可记为(　　)

A．α­β­l　　B．M­l­N　　C．l­M­N　　D．l­β­α

B　[根据二面角的记法规则可知B正确．]

2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________．

90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小为90°．]

知识点2　平面与平面垂直

1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2．画法：

3．记作：α⊥β．

4．判定定理：

2．两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？

[提示]　不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．

3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)

A．α⊥γ，β⊥γ　　　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β

C．a∥β，a∥α   D．a∥α，a⊥β

D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行

又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β．]

4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　)

A．1对　　　 B．2对

C．3对   D．5对

D　[∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又AB∩PA＝A，

∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB．又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]

类型1　二面角的计算问题

【例1】　如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值．

[解]　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD．

由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．

设点H是△BCD的重心，

则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．

在Rt△AMH中，AM＝×2＝，

HM＝×2×＝，

则cos∠AMB＝＝，

即二面角的余弦值为．

求二面角大小的方法和步骤是什么？

[提示]　1．确定二面角的平面角的方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

2．求二面角大小的步骤

(1)找出这个平面角；

(2)证明这个角是二面角的平面角；

(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．

1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．

[解]　因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，

所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，

所以BD⊥平面 ACD．

因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD，

所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．

在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°．

即平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°．

类型2　平面与平面垂直的判定

【例2】　(对接教材P158例8)如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．

求证：平面ABC⊥平面SBC．

[证明]　(1)法一：(利用定义证明)

因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，

所以△ASB和△ASC是等边三角形，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，

令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．

取BC的中点D，如图所示，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，

所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．

在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，

所以SD＝a，BD＝＝a．

在Rt△ABD中，AD＝a，

在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，

所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．

法二：(利用判定定理)

因为SA＝SB＝SC，

且∠BSA＝∠CSA＝60°，

所以SA＝AB＝AC，

所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．

因为△SBC为等腰直角三角形，

所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD⊥平面SBC．

又因为AD⊂平面ABC，

所以平面ABC⊥平面SBC．

证明面面垂直常用的方法

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．

[证明]　连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE．

因为O为AC中点，E为PA的中点，

所以EO是△PAC的中位线，

所以EO∥PC．

因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．

又因为EO⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD．

1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　)

A．0个　　　　　　　 B．1个

C．无数个   D．1个或无数个

D　[设P为平面α外一点，O为平面α内一点．当PO⊥α时，过直线PO有无数多个平面与平面α垂直；当PO与α不垂直时，过直线PO有且只有1个平面与平面α垂直．]

2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小为(　　)

A．90°　　　B．60°　　　C．45°　　　D．30°

A　[∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，

∴∠BAC即为二面角B­PA­C的平面角．

又∠BAC＝90°，

∴二面角B­PA­C的大小为90°]

3．(多选题)已知l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列命题正确的有(　　)

A．α∥β⇒l⊥m   B．α⊥β⇒l∥m

C．l∥m⇒α⊥β   D．l⊥m⇒α∥β

AC　[∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故C正确．]

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________．

45°　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°．]

5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1．

[证明]　因为BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1，

又B1C⊥A1B，

且BC1∩A1B＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，

又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)二面角的定义是什么？如何作二面角的平面角？

(2)如何求二面角的平面角的大小？

(3)二面角的取值范围是什么？

(4)如何证明两个平面垂直？