数学人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优秀第2课时导学案

第2课时　平面与平面垂直的性质

知识点　平面与平面垂直的性质定理

如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？

[提示]　正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．

1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)

A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β

C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β

D　[A项中缺少了条件l⊂α，故A错误．

B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．

C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．

D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]

2．(多选题)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)

A．PE⊥AC

B．PE⊥BC

C．平面PBE⊥平面ABCD

D．平面PBE⊥平面PAD

ABC　[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选ABC．]

类型1　面面垂直性质定理的应用

【例1】　如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

求证：BC⊥AB．

[证明]　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC．

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．

又∵PA⊥平面ABC，

BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，

∴BC⊥平面PAB．

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．

1．证明或判定线面垂直的常用方法

(1)线面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性质定理；

(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；

(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．

2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．

1．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．

求证：平面VBC⊥平面VAC．

[证明]　∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，

BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面VAB．

又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，

又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，

又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，

∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC．

类型2　线线、线面、面面垂直的综合应用

【例2】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA．

试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．

[提示]　垂直问题转化关系如下所示：

[解]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，

则CF＝DB＝a．

因为CE⊥平面ABC，

所以BC⊥CF，DF⊥EC，

所以DE＝＝a．

又因为DB⊥平面ABC，

所以DA＝＝a，所以DE＝DA．

(2)取CA的中点N，连接MN，BN，

则MNCEDB．

所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN．

又因为EC⊥平面ABC，

所以EC⊥BN，EC⊥MD．

又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE．

又AE∩EC＝E，

所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA．

(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA．

本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．

[解]　如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，

在△CEN中，由＝，知B为CN中点，

∴CB＝BN＝2a．

∴△ABN中，∠ABN＝120°，

∠BAN＝∠BNA＝30°，

∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA．

又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，

∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，

且AN为平面ADE与平面ABC的交线．

∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，

在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°．

所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°．

垂直关系的互化及解题策略

空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．

2．如图，M是半圆弧上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．

(1)证明：MC∥平面PBD；

(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC．

[证明]　(1)连接AC，交BD于O，

因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MC∥OP，因为MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．

(2)平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，

因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM⊂平面AMD，

所以平面AMD⊥平面BMC．

1．已知m，n为直线，α，β为空间的两个平面．给出下列命题：①⇒n∥α；②⇒m∥n；

③⇒α∥β，④⇒m∥n．

其中正确的命题为________．(填序号)

③④　[对于①，会有n⊂α的情况，因此不正确；对于②，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．]

2．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点(不含边界)，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是________．

(，3)　[连接BC1，依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上(不含端点)．AE＝＝，AF＝＝3，所以线段AP长度的取值范围是(，3)．

]

3．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD．平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE．点F为AD中点，连接EF．求证：平面AED⊥平面ABD．

[证明]　取AB中点O，连接OC，OF．

∵O，F分别为AB，AD中点，

则OF∥BD且BD＝2OF．

又∵CE∥BD且BD＝2CE，

∴CE∥OF且CE＝OF，

∴四边形OCEF为平行四边形，

∴EF∥OC．

∵△ABC为等边三角形，

∴OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC∩平面ABD＝AB，

∴OC⊥平面ABD．

∵EF∥OC，

∴EF⊥平面ABD，

又∵EF⊂平面AED，

∴平面AED⊥平面ABD．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)面面垂直的性质定理的内容是什么？两个平面垂直还具备哪些性质？

(2)线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？