高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习题

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知识精讲
知识点01 二面角的概念
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面．
3．画法：

4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5．二面角的平面角：
(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
【即学即练1】 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
答案 C
解析 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
知识点02 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2．平面与平面垂直的判定定理
【即学即练2】在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
答案 B
解析 如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，
所以AD⊥平面BCD，
又AD⊂平面ADC，
所以平面ADC⊥平面BCD.
故选B.
知识点03 平面与平面垂直的性质定理
【即学即练2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
证明 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM⊂平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，
所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝eq \r(B1C\\al(2,1)＋MC\\al(2,1))＝eq \r(2)，
同理BM＝eq \r(BC2＋CM2)＝eq \r(2)，
又B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM⊂平面ABM，
所以平面ABM⊥平面A1B1M.
能力拓展
考法01 二面角的求法
【典例1】如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．
解 如图，取CD的中点M，连接AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角．
设点H是△BCD的中心，连接AH，
则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上．
在Rt△AMH中，AM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，HM＝eq \f(\r(3),2)×2×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(3),3)，
则cs ∠AMB＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq \f(1,3)，
即所求二面角的平面角的余弦值为eq \f(1,3).
反思感悟 求二面角的平面角的大小的步骤
【变式训练】从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
答案 C
解析 如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α－l－β的棱交于点O，连接OE，OF.
因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，
所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，
则∠EOF为α－l－β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，
故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°，故选C.
考法02 平面与平面垂直的判定
【典例2】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明 ∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟 证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
【变式训练】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
证明 作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，
∴BH＝eq \f(1,2)AC＝AH，
又SH＝SH，SA＝SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，
又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
考法03 平面与平面垂直的性质定理
【典例3】
【变式训练】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
反思感悟 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点
(1)两个平面垂直．
(2)直线必须在其中一个平面内．
(3)直线必须垂直于它们的交线．
【变式训练】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
证明 如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足，
∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC⊂平面ABC且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（ ）
A．异面B．相交但不垂直C．平行D．相交且垂直
【答案】C
【分析】根据面面垂直的性质，α⊥β， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内且垂直于交线，所以n⊥α，即可得解.
【详解】因为α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.
故选：C.
2．设m，n是不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】ABC均可以举出反例，D选项可证明出正确.
【详解】A选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，或m，n相交或m，n异面，A错误；
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交，B错误；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D
3．如图所示，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形，那么必有（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由线线垂直（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）推出线面垂直（ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ）推出面面垂直平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD
故选：C.
4．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】画出正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，则 SKIPIF 1 < 0 为侧面与底面所成的角，从而在直角三角形POH中即可求解.
【详解】解：如图所示，正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为侧面与底面所成的角，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为高，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角三角形POH中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以侧面与底面所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
故选: B.
5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ）
A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β
【答案】C
【分析】在A中， SKIPIF 1 < 0 与β相交或相行；在B中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则 SKIPIF 1 < 0 与β相交或相行，故A错误；
在B中，m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定垂直，故B错误；
在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：C
6．如图所示，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题不正确的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据条件推出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理判断ABD，利用反证法证明判断C.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故AB正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
对于C选项，若假设平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图
由平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
这与 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故假设不正确，故C选项错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：先利用勾股定理证明线线垂直，再得线面垂直，最后推出面面垂直是关键，要证明平面不垂直时，可考虑反证法.
二、多选题
7．已知直线l和不重合的两个平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】结合面面平行的判定定理、面面平行的定义、面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可分别判断四个选项的正误.
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行或相交，故错误；对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则由面面平行的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则由面面垂直的判定定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时，l可能在 SKIPIF 1 < 0 内，可能与 SKIPIF 1 < 0 平行，也可能与 SKIPIF 1 < 0 相交，所以不一定有 SKIPIF 1 < 0 ，故错误.
故选：BC.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】A.由线面垂直的判定定理判断；B. 由直线和平面的位置关系判断；C. 由空间直线的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.
【详解】A. 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直的判定定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
B. 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
C. 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或异面，故错误；
D. 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由面面垂直的判定定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
故选：AD
三、填空题
9．二面角的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二面角的定义直接作答.
【详解】二面角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△ SKIPIF 1 < 0 折起到△ SKIPIF 1 < 0 处，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据面面垂直性质可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线PC与平面ABCE所成角为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线PC与平面ABCE所成角为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
11．如图，在棱长为a的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点．则点A和点 SKIPIF 1 < 0 的距离为______，点 SKIPIF 1 < 0 到棱BC的距离为______，点E到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为______， SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0
【分析】由勾股定理可直接求解点A和点 SKIPIF 1 < 0 的距离；由题意 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到棱BC的距离；取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为点E到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；先证明 SKIPIF 1 < 0 平面AEFD，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离等于直线 SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离；再证明平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面，然后过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离，从而可得答案.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
连接 SKIPIF 1 < 0 ，在正方体中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到棱BC的距离
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为点E到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离
E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面AEFD, SKIPIF 1 < 0 平面AEFD，所以 SKIPIF 1 < 0 平面AEFD，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离等于直线 SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离.
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
则过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 到平面AEFD的距离.
由 SKIPIF 1 < 0 , 则 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
12．菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿BD折起， SKIPIF 1 < 0 点变为E点，当四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意可得当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，然后分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 作其面的垂线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，即为外接球球心，再根据已知数据求出 SKIPIF 1 < 0 长，即为外接球的半径，从而可求出球的表面积
【详解】如图所示，

当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时，四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，
分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心 SKIPIF 1 < 0 作其面的垂线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，即为外接球球心，
因为M为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形.
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 都为等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．
（1）求证：AD∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥平面PAD
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，进而证明AD∥平面PBC；
（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性质定理证明．
【详解】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又AD SKIPIF 1 < 0 平面PBC，BC SKIPIF 1 < 0 平面PBC，
∴AD∥平面PBC；
（2）证明：∵底面ABCD是矩形，
∴AB⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD SKIPIF 1 < 0 平面ABCD＝AD，AB SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
14．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，且靠近点 SKIPIF 1 < 0 处，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析．
【详解】（1）因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，所以在平面 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因为在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，且靠近点 SKIPIF 1 < 0 处.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
【答案】C
【分析】分别根据面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理判断选项即可.
【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于 SKIPIF 1 < 0 ,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行或相交，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ,若m∥α，m∥n，则n∥α 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交或 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAD；②平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBC；
③平面 SKIPIF 1 < 0 平面PCD；④平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAC．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】A
【分析】对于①②，由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
对于③④，找到相互垂直的平面的二面角的平面角，可发现这些平面角不可能为直角.
【详解】∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
又正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC，②正确；
同理AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB，∴①正确；
设平面PAB∩平面PCD＝l，∵AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥l，
AB⊥平面PAD，l∥AB，∴l⊥平面PAD，P为垂足，
∴∠APD为二面角A−l−D的平面角，
若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，在Rt△PAD中不可能，∴③错误．
∵AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B−PA−C的平面角，
若平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAC，则AB⊥AC，在Rt△ABC中不可能，∴④错误．
故选：A．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面平行
D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
【答案】D
【分析】根据线面关系结合相关判定定理和性质定理逐个分析理解.
【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错;
一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错;
若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以相交，故C错;
若 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
同理可得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
4．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于 SKIPIF 1 < 0 年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为 SKIPIF 1 < 0 ，宝顶到上檐平面的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据正八边形的性质，结合二倍角正切公式及正切的定义求上檐平面中心到檐边的距离，再根据题设求攒尖坡度.
【详解】由题设，上檐平面的八边形如下图示： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，(舍 SKIPIF 1 < 0 )，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设知：攒尖坡度为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．已知平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 交于直线 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 不重合，则下列命题错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据面面垂直、线面垂直有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出命题错误的选项.
【详解】根据面面垂直的性质定理可知，A,B两个选项命题正确.
对于C选项，根据线面垂直的判定定理可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C选项命题正确.
对于D选项，命题不满足面面垂直的判定定理， SKIPIF 1 < 0 可以不垂直，故D选项错误.
故选：D.
6．给出下列四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；
④异面直线a，b不垂直，则过a的任平面与b都不垂直．其中正确命题是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】根据正棱柱的特征，可判断①的正误；由面面垂直的判定定理判断②的正误；找出反例否定③；由反证法判定④.
【详解】①各侧面都是正方形的棱柱的底面边长都相等，但不一定是正多边形，故①错误；
②由面面垂直的判定定理知：若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面的两侧，则不成立，故③错误；
④假设存在过 SKIPIF 1 < 0 的平面与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以假设不成立，故④正确.
故选：C.
二、多选题
7．设 SKIPIF 1 < 0 是给定的平面，A，B是不在 SKIPIF 1 < 0 内的任意两点，则下列各选项正确的是（ ）
A．在 SKIPIF 1 < 0 内存在直线与直线 SKIPIF 1 < 0 异面
B．在 SKIPIF 1 < 0 内存在直线与直线 SKIPIF 1 < 0 相交
C．在 SKIPIF 1 < 0 内存在直线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行
D．存在过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面与 SKIPIF 1 < 0 垂直
【答案】AD
【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是不在 SKIPIF 1 < 0 内的任意两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交或平行.
若 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交，设交点为O，则 SKIPIF 1 < 0 内不过交点O的直线与 SKIPIF 1 < 0 异面，但平面 SKIPIF 1 < 0 内不存在与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线；
若 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行，则在 SKIPIF 1 < 0 内存在直线b与 SKIPIF 1 < 0 平行，而在 SKIPIF 1 < 0 内与b相交的直线与 SKIPIF 1 < 0 异面，但 SKIPIF 1 < 0 内不存在直线与 SKIPIF 1 < 0 相交，由上知A正确，B、C均错；
无论 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行还是相交，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，则这条垂线与直线 SKIPIF 1 < 0 所在平面与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直（如果垂线与 SKIPIF 1 < 0 重合，则过 SKIPIF 1 < 0 的任意平面都与 SKIPIF 1 < 0 垂直），D正确.
故选：AD.
8．如图，在五棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为的大小为60°
C．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
D．四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为3
【答案】AD
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理证得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 ，进而证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可判定A正确；过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，结合线面角的定义法，可判定B不正确；由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得出四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，结合梯形的面积公式和锥体的体积公式，可判定C不正确，D正确.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B不正确；
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确，D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．已知平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的______条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）
【答案】充分不必要
【分析】从充分性和必要性两方面分析判断得解.
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不一定有 SKIPIF 1 < 0 ，有可能 SKIPIF 1 < 0 不与平面b垂直，也有可能 SKIPIF 1 < 0 在平面b内.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的非必要条件.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分非必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】本题主要考查充要条件的判断和空间几何元素的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．如图所示的四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．给出以下5个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形；③平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤三棱锥 SKIPIF 1 < 0 表面的四个三角形中，面积最大的是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】①②④
【分析】由线面垂直判定以及性质判断①；由勾股定理以及面面垂直的性质判断②；取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理以及面面角的定义证明平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直；由体积公式得出 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 判断⑤.
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直的判定可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即①正确；因为正方形的边长是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，②正确；如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 就是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是直角．即平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，③错误；因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 表面的四个三角形中，面积最大的是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，不是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．
故答案为：①②④
11．在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 分别是正三角形 SKIPIF 1 < 0 和正三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 是该三棱锥外接球的球心，连接 SKIPIF 1 < 0 ,可证明 SKIPIF 1 < 0 ，通过几何关系可得到外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案
【详解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 分别是正三角形 SKIPIF 1 < 0 和正三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 是该三棱锥外接球的球心，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，球半径 SKIPIF 1 < 0
∴外接球体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，根据面面垂直的性质定理证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得 SKIPIF 1 < 0 为四面体CEGF的外接球的球心，求出其半径后，利用球的表面积公式可求出结果.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF SKIPIF 1 < 0 平面ABFE，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以其表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由中位线定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果．
（2）由题意可证 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面面垂直的性质定理，可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可证明结果．
【详解】（1）证明:因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．如图所示，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，在 SKIPIF 1 < 0 中，结合余弦定理和面积公式，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，
因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
1．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由已知有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据线面垂直的判定可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由面面垂直的判定可证平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）易证 SKIPIF 1 < 0 是矩形，由已知线段的长度，结合勾股定理求相关线段长并确定 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据等体积法有 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【详解】（1）证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由上知： SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】关键点点睛：
（1）应用线面、面面垂直的判定证明面面垂直；
（2）应用等体积法求点面距.
2．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是一个平行四边形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用三棱锥等体积的方法，即 SKIPIF 1 < 0 ，可求得答案.
(1)
证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
3．如图所示，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，在 SKIPIF 1 < 0 中，结合余弦定理和面积公式，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，
因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2， SKIPIF 1 < 0 ，点D为BC中点.
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面AC1D；
(2)求点C到平面AC1D的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 问题，再将线面垂直转化为线线垂直，结合已知可证；
（2）利用等体积法，由 SKIPIF 1 < 0 求解可得.
（1）
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 三棱柱 SKIPIF 1 < 0 为直三棱柱， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面AC1D；
（2）
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 高，
在 SKIPIF 1 < 0 中，CD=1，AC=2，∴AD= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，AC=CC1=2，∴AC1= SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，CD=1，CC1=2，∴CD1= SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．
1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.
2.一平面与平面的重直需要“一面角”的概念，一面角定量地反映了两个平面相交的位置关系日是如何来刻画二面角的太小是一个难点根据“异面直线所成的角”和“直线与平面所成的角的学习经验，借助“空间问题平面化”的思想，借鉴平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况的方法，教材按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义.通过类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义,探索得出空间中两个平面互相垂直的定义，从中体会定义一个数学对象的基本思想
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
图形语言
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言