数学必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试练习

专题强化练1　空间中的平行关系

一、单项选择题

1.(★★☆)如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.(2018北京通州高三期末,★★☆)如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有(　　)

A.1条     B.2条 C.3条    D.无数条

二、填空题

3.(★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件　　　　时,有MN∥平面B1BDD1. 

三、解答题

4.(★★☆)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E使DE∥平面AB1C1?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

5.(★★☆)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:

(1)B,C,H,G四点共面;

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

6.(★★☆)如图,已知正四棱锥P-ABCD.

(1)在△PCD中,若CD=2,CD上的高为,求该四棱锥的表面积S,体积V;

(2)设AB的中点为M,PC的中点为N,证明:MN∥平面PAD.

答案全解全析

专题强化练1　空间中的平行关系

一、单项选择题

1.C　在A、B选项中,易知AB∥A1B1∥MN,所以易证AB∥平面MNP;在D选项中,易知AB∥PN,所以易证AB∥平面MNP.故选C.

2.D　如图,当M为线段A1B上除端点外的任一点时,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G,过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数条.

二、填空题

3.答案　M∈FH

解析　易知HN∥DB,FH∥D1D,又NH∩FH=H,DB∩D1D=D,HN,FH⊂平面FHN,DB,D1D⊂平面B1BDD1,

∴平面FHN∥平面B1BDD1.

∵点M在四边形EFGH上及其内部运动,∴M∈FH.

三、解答题

4.解析　存在.证明:取棱AB的中点E,过点D作DF∥B1C1交BB1于点F,连接ED,EF.因为DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.

因为D是CC1的中点,DF∥B1C1,所以F为BB1的中点,所以EF为△ABB1的中位线,所以EF∥AB1.

因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.

又因为DF,EF为平面DEF内的两条相交直线,所以平面DEF∥平面AB1C1.

又因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.故当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.

5.证明　(1)在△A1B1C1中,G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴GH与BC确定一个平面,∴B,C,H,G四点共面.

(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.

易证A1G?EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,

∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,且A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.

6.解析　(1)如图,过点P作PE⊥CD于点E,作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OE,

则E为CD的中点,O为正方形ABCD的中心.由题意知PE=,BC=CD=2,

∴OE=BC=1,∴PO==.

∴正四棱锥的表面积S=+4=22+4××2×=4+4,

正四棱锥的体积V=S正方形ABCD·PO=×22×=.

(2)证明:如图,过N作NQ∥CD,交PD于点Q,连接AQ,

∵N为PC的中点,∴Q为PD的中点,∴NQ∥CD且NQ=CD.

又AM∥CD且AM=CD,∴AM?NQ,∴四边形AMNQ是平行四边形,∴MN∥AQ.

又MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,

∴MN∥平面PAD.