高中北师大版 (2019)第六章 立体几何初步本章综合与测试课时练习

第六章　立体几何初步

专题强化练10　空间中的平行关系

一、选择题

1.(2020安徽马鞍山二中高二上期中,)如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是(　　)

2.(2020北京通州高三期末,)如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有(　　)

A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条

3.(2019山东枣庄滕州一中模拟,)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

4. (多选)(2020辽宁本溪高一下期中,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上,且BP=BD1,则下面说法正确的是(　　)

A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC

C.A,P,M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC

二、填空题

5.(2020山东济南实验中学期中,)如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件　　　　时,就有MN∥平面B1BDD1.(请填上你认为正确的一个条件即可) 

三、解答题

6.(2019河南信阳高中高一下期末,)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E使DE∥平面AB1C1?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

7.(2020辽宁大连二十四中高三第一次模拟,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:

(1)B,C,H,G四点共面;

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

专题强化练10　空间中的平行关系

一、选择题

1.C　在A、B选项中,易知AB∥A1B1∥MN,所以易证AB∥平面MNP;在D选项中,易知AB∥PN,所以易证AB∥平面MNP.故选C.

2.D　如图,当M为线段A1B上除端点外的任一点时,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G,过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数条.

3.D　对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交;若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件.同理,选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件.对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.

4.BC　如图,对于A,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,

易得AM,CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的.

对于B,连接AN.由A知A,N在平面APC内,所以AN⊂平面APC,

由题易知AN∥C1Q,C1Q⊄平面APC,

所以C1Q∥平面APC是正确的.

对于C,由A知,A,P,M三点共线是正确的.

对于D,由A知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.

二、填空题

5.答案　点M在线段FH上(答案不唯一)

解析　连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,易知平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,则有MN∥平面B1BDD1.

三、解答题

6.解析　存在.证明:取棱AB的中点E,过点D作DF∥B1C1交BB1于点F,连接ED,EF.因为DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.

因为D是CC1的中点,DF∥B1C1,所以F为BB1的中点,所以EF为△ABB1的中位线,

所以EF∥AB1.

因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.

又因为DF,EF为平面DEF内的两条相交直线,所以平面DEF∥平面AB1C1.

又因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.故当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.

7.证明　(1)在△A1B1C1中,G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,

∴GH与BC确定一个平面,

∴B,C,H,G四点共面.

(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,

∴EF∥BC,

∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,

∴EF∥平面BCHG.

易证A1G?EB,

∴四边形A1EBG是平行四边形,

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF=E,且A1E,EF⊂平面EFA1,

∴平面EFA1∥平面BCHG.