高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精练

专题强化练7　空间角和距离

一、选择题

1.(2021浙江湖州三贤联盟高二上期末,)如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A,B到l的距离分别是a和b,AB与α,β所成的角分别是θ和φ,AB在α,β内的射影长分别是m和n,若a>b,则              (　　)

A.θ>φ,m>n　　　B.θ>φ,m<n   C.θ<φ,m<n　　　D.θ<φ,m>n

2.(2021江苏南京师大附中高二上期末,)在三棱锥P-ABC中,PB=PC=AB=AC=BC=4,PA=2,则异面直线PC与AB所成角的余弦值是              (　　)

A.

3.()如图所示,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,且PA=PB=AB=,PC=,则点C到平面PAB的距离等于              (　　)

A.

4.(多选)(2021江苏常州溧阳高二上期末,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题中正确的是              (　　)

A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于

B.点C到平面ABC1D1的距离为

C.异面直线D1C和BC1所成的角为

D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-

二、填空题

5.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足,点P在棱AB上运动,设EP与平面BCD所成的角为θ,则sin θ的最大值为　　　　. 

三、解答题

6.(2021内蒙古赤峰高一下期中,)如图,四面体A-BCD中,O,E分别为BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(1)求证:AO⊥平面BCD;

(2)求点E到平面ACD的距离.

答案全解全析

一、选择题

1.D　由题意可得

所以m>n,θ<φ.

2.A　分别取PA、PB、BC的中点E、F、G,连接EF、EG、FG、GA、PG,如图:

由PB=PC=AB=AC=BC=4可得PG=AG=2,所以EG⊥PA,

在△GPA中,由PG=AG=PA=2,可得EG=3.

由中位线的性质可得EF∥AB且EF=AB=2,FG∥PC且FG=PC=2,

所以∠GFE(或其补角)即为异面直线PC与AB所成的角,

在△GFE中,cos∠GFE=,

所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为.

故选A.

3.C　取AB的中点G,连接PG、CG,作CH⊥PG,垂足为H,如图所示,

∵PA=PB=AB=,

∴△PAB为等边三角形.

∵G为AB的中点,∴PG⊥AB,

∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴CG⊥AB,

又PG∩CG=G,

∴AB⊥平面PCG,

又CH⊂平面PCG,∴AB⊥CH.

又CH⊥PG,PG∩AB=G,∴CH⊥平面PAB,

即CH的长就是点C到平面PAB的距离.

在等边三角形PAB中,PG=,

在Rt△ABC中,CG=,

在△PCG中,由余弦定理的推论可得

cos∠PGC=

=,

∴sin∠PGC=

=,

在Rt△CHG中,CH=CG·sin(π-∠PGC)=,

∴点C到平面PAB的距离为.

故选C.

4.AB　如图,取BC1的中点H,连接CH,易证CH⊥平面ABC1D1,

所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角,为,故A正确.

点C到平面ABC1D1的距离即为CH的长度,为,故B正确.

易证BC1∥AD1,所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C(或其补角),连接AC,易知△ACD1为等边三角形,所以∠AD1C=,所以异面直线D1C和BC1所成的角为,故C错误.

连接DH,易知BD=DC1,所以DH⊥BC1,

又CH⊥BC1,CH∩DH=H,平面BCC1∩平面BC1D=BC1,

所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角,

易求得DH=,又CD=1,CH=,

所以由余弦定理的推论可得cos∠CHD=,故D错误.

故选AB.

二、填空题

5.答案　

解析　依题意可知,该几何体为正四面体,过点A作AO⊥底面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,连接OB,过P作PH⊥OB,交OB于H,连接HE,如图.

易知∠PEH即为直线EP与平面BCD所成的角θ,

设正四面体的棱长为4a,PB=x(0≤x≤4a),由,得BE=a.

在三角形PBE中,∠PBE=,

由余弦定理得PE=,

易得OB=a,

∴AO=a,

由,得PH=x,

∴sin θ==,

∴当x=2a,即点P在AB中点时,sin θ取得最大值,最大值为.

三、解答题

6.解析　(1)证明:连接OC.因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD.

同理可得CO⊥BD.在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.

又AC=2,所以AO2+CO2=AC2,所以∠AOC=90°,即AO⊥OC.因为BD∩OC=O,所以AO⊥平面BCD.

(2)连接AE,DE.设点E到平面ACD的距离为h.因为VE-ACD=VA-CDE,所以·AO·S△CDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,所以S△ACD=.

又AO=1,S△CDE=,所以h=.

所以点E到平面ACD的距离为.