高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算学案

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4.2　对数与对数函数4.2.1　对数运算学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)2．理解对数的底数和真数的取值范围．(易混点)3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)1．通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过对数性质的学习，培养数学运算核心素养.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？[提示]　2x个，3次，8次；由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数．知识点1　对数的定义及相关概念1．对数的概念在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．2．对数恒等式a＝N.3．常用对数以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg N.4．自然对数在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.如何准确理解指数式与对数式的关系？[提示]　(1)指数式和对数式的关系如图所示：(2)指数式和对数式各部分的名称： 式子名称abN指数式ab＝N底数指数幂对数式logaN＝b底数对数真数1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4. (　　)(2)对数式log32与log23的意义一样． (　　)(3)因为1a＝1，所以log11＝a.  (　　)(4)log(－2)(－2)＝1．  (　　)[提示]　(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错；(4)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．2＝________.3　[由对数恒等式得，2＝3.]知识点2　对数的性质性质1负数和零没有对数性质21的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1)性质3底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1)3.若log3(log2x)＝0，则x＝________.　[∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即x＝.] 类型1　对数的概念【例1】　(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________．(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是____________．[思路探究]　根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．(1)　(2)(2,3)∪(3，＋∞)　[(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是.(2)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]在对数式中，对数的底数与真数有什么要求？[提示]　根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0.1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是____________．∪(2，＋∞)　[由题意可得解得x>，且x≠2，所以实数x的取值范围是∪(2，＋∞)．] 类型2　指数式与对数式的互化【例2】　(1)将下列指数式与对数式互化：①log216＝4；②logx＝6；③43＝64；④3－2＝；⑤lg 1 000＝3.(2)(对接教材P18例4)设a＝log310，b＝log37，求3a－b的值．[思路探究]　(1)根据ax＝N⇔logaN＝x(a>0且a≠1，N >0)求解；(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．[解]　(1)①因为log216＝4，所以24＝16.②因为logx＝6，所以()6＝x.③因为43＝64，所以log464＝3.④因为3－2＝，所以log3＝－2.⑤因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.(2)因为a＝log310，b＝log37，所以3a＝10,3b＝7.则3a－b＝＝.1．指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．2．互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式：①10－3＝；②ln 2＝x.(2)已知a>0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．[解]　(1)①因为10－3＝，所以lg＝－3.②因为ln 2＝x，所以ex＝2.(2)根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3，由loga2＝m及对数的定义可得am＝2，所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12. 类型3　对数的性质与对数恒等式1．是不是所有的实数都有对数？[提示]　负数和0没有对数．2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？[提示]　因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1．3．你能推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？[提示]　因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a＝N.【例3】　(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln 6)＝(　　)A．－ln 6＋6　　 B．ln 6－6C．ln 6＋6 D．－ln 6－6(2)有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是(　　)A．①③ B．②④C．①② D．③④[思路探究]　(1)根据奇偶性先将f(ln 6)化为－f(－ln 6)再代入求解．(2)根据对数的性质逐一判断即可．(1)C　(2)C　[(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6－eln 6)＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.(2)因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；由10＝lg x，得1010＝x，故x≠100，故③错误；由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．对数恒等式a＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．3．计算：log2＝________.－　[log2＝log22＝－.]4．已知log5(log3(log2a))＝0，计算36的值．[解]　因为log5(log3(log2a))＝0，所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.所以a＝23＝8.所以原式＝(62)＝6＝a2＝64.1．把对数式x＝lg 2化为指数式为(　　)A．10x＝2　　　　 B．x10＝2C．x2＝10 D．2x＝10A　[根据指数式与对数式的互化可知x＝lg 2化为指数式为10x＝2.]2．若log8x＝－，则x的值为(　　)A． B．4C．2 D．A　[∵log8x＝－，∴x＝8＝2－2＝，故选A．]3．若3x＝2，则x等于(　　)A．log23　　　　 B．log32C．32 D．23B　[由指数式化为对数式可知x＝log32.]4．计算2＝________.20　[2＝22·2log25＝4×5＝20.]5．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是________．(2,3)∪(3,5)　[要使对数式有意义，则需解得2＜a＜5且a≠3.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．对数与指数有怎样的关系？[提示]　指数式与对数式的互化(其中a＞0且a≠1)：(1)对数运算是指数幂运算的逆运算；(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．2．对数有哪些性质？[提示]　(1)负数和零没有对数．(2)1的对数是0.(3)底数的对数是1．3．对数概念中，有哪些容易出错的地方？[提示]　对数式中容易忽视底数与真数的范围．