人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系学案设计

4.3　指数函数与对数函数的关系

知识点1　反函数的概念与记法

1．反函数的概念

一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时，称y＝f(x)存在反函数．

2．反函数的记法

函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．

如何准确理解反函数的定义？

[提示]　(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域．

(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它在R上不是单调函数．

(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝的反函数是y＝logx. (　　)

(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R. (　　)

(3)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于y＝x对称． (　　)

[提示]　(1)×.函数y＝的反函数是y＝logx(x>0)．

(2)×.函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)．

(3)×.互为反函数的图像关于直线y＝x对称，所以函数y＝ex的图像与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，函数y＝lg x的图像与y＝10x的图像关于直线y＝x对称．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

知识点2　指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．

(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图像关于直线y＝x对称．

2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)

A．log2x　　　　　 B．

C．logx D．2x－2

A　[y＝ax的反函数为f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.

所以f(x)＝log2x.]

3.函数y＝x＋3的反函数为__________．

y＝x－3(x∈R)　[由y＝x＋3，得x＝y－3，

x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3

(x∈R)．]

类型1　求函数的反函数

【例1】　(对接教材P31例2)求下列函数的反函数．

(1)y＝；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)．

[解]　(1)由y＝，得x＝logy，且y>0，

∴f－1(x)＝logx(x>0)．

(2)由y＝5x＋1，得x＝，

∴f－1(x)＝(x∈R)．

(3)由y＝x2得x＝±.

因为x≤0，所以x＝－.

所以f－1(x)＝－(x≥0)．

求反函数的一般步骤有哪几步？

[提示]　(1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围．

(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．

(3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域得反函数．

提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．

1．(1)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　)

A．f(2x)＝e2x(x∈R)

B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)

C．f(2x)＝2ex(x∈R)

D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)

(2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数．

(1)D　[由题意知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，y＝ex>0，所以f(x)＝ln x(x>0)．则f(2x)＝ln(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)．]

(2)[解]　由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，

对换x，y得y＝log0.2(x－1)．

∵原函数中x≤1，y≥1.2，

∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)，

因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)．

类型2　指数函数与对数函数图像之间的关系

【例2】　(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图像只能是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是图中的(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

(1)C　(2)A　[(1)y＝ax与y＝logax的单调性一致，故排除A、B；当0＜a＜1时，排除D；当a＞1时，C正确．

(2)因为a>1时，y＝a－x＝,0<<1是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax为增函数，恒过(1,0)点，故选A．]

互为反函数的图像有什么特点？

[提示]　(1)互为反函数的图像关于直线y＝x对称；图像关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．

(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．

(3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．

2．(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式为(　　)

A．4x＋3　　B．3x＋4　　C．5x＋2　　D．2x＋5

(2)若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则a的值为______．

(1)A　(2)－1　[(1)∵f(x)的反函数图像过点(4,0)，

∴f(x)的图像过(0,4)，

又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，

所以有方程组

∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3，选A．

(2)由y＝可得x＝，则原函数的反函数是y＝，所以＝，得a＝－1．]

类型3　指数函数与对数函数的综合应用

1．观察函数y＝2x与y＝log2x的图像，指出两个函数的增长有怎样的差异？

[提示]　根据图像，可以看到，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．

2．你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？

[提示]　

【例3】　已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.

(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的反函数；

(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2.

[思路探究]　(1)判断奇偶性⇒奇偶性定义．

(2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．

(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集．

[解]　(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝.

因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．

(2)因为f(x)＝y＝＝1－，

所以2x＝(－1<y<1)，

所以f－1(x)＝log2(－1<x<1)．

(3)因为f－1(x)>log2，

即log2>log2，

所以所以

所以当0<k<2时，原不等式的解集为{x|1－k<x<1}；

当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1<x<1}．

解对数不等式的常见解法

(1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集．

(2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论．

1．若函数y＝f(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图像必过点(　　)

A．(1,1) B．(1,5)　　　

C．(5,1)　　　 D．(5,5)

C　[原函数与它的反函数的图像关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图像过点(1,5)，而点(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图像必过点(5,1)．]

2．函数y＝log3 x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　)

A．(0，＋∞) B．R

C．(－∞，0) D．(0,1)

A　[由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．]

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝(　　)

A．log2x B．logx

C． D．x2

B　[因为y＝ax的反函数为y＝logax.又此函数经过点(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f(x)＝logx.]

4．下列函数中，反函数是其自身的函数为(　　)

A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)

B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)

C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)

D．f(x)＝，x∈(0，＋∞)

D　[f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f－1(x)＝，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f－1(x)＝，x∈(0，＋∞)．]

5．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b＝________.

1　[f－1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．互为反函数的图像间有怎样的关系？

[提示]　若函数y＝f(x)(定义域为A，值域为B)存在反函数y＝f－1(x)，则

(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上．

(2)若b＝f(a)，则a＝f－1(b)，f－1[f(a)]＝a，f[f－1(b)]＝b.

(3)若f(x)＝f－1(x)⇔f(x)的图像关于直线y＝x对称．

2．本节课的易错点是什么？

[提示]　本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域．