高中湘教版（2019）第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用精品课件ppt

这是一份高中湘教版（2019）第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用精品课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，情境导入，知识梳理，增长曲线的选择等内容，欢迎下载使用。

1.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数、幂函数增长速度的差异.(数据分析、直观想象)2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.(数学抽象、直观想象)3.能正确地选择函数模型解决实际问题.(数学建模)
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题:现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?A.5年　B.7年　C.8年　D.9年　E.永远买不起房子的价格逐年构成什么函数?这个人的逐年收入构成什么函数?你能给出这道题的答案吗?为什么?
知识点:三种常见函数模型的增长速度比较
名师点析 1.对数函数y=lgbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内,lgbx可能会大于xc,但是由于lgbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时就会有lgbx1)和幂函数y=xc(x>0,c>0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.
3.当幂指数大于1时,不论一次函数的一次项系数和常数项多么大,只要自变量足够大,幂函数的增长就比一次函数快得多.类似地,一次函数y=kx+b(k>0)总比幂函数y=xα(0<α<1)增长得快.4.指数增长最快,对数增长最慢.
微思考为什么存在一个x0,当x>x0时,ax>xn>lgax(a>1,n>0)一定成立?提示 当a>1,n>0时,由y=ax,y=xn,y=lgax的增长速度,知存在x0,当x>x0时,图象由上而下依次对应指数、幂、对数函数,故一定有ax>xn>lgax.
微判断(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.(　　)(2)函数y=lg2x增长的速度越来越慢.(　　)(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.(　　)答案 (1)√　(2)√　(3)×
微练习函数y=x2与函数y=ln x在区间(0,+∞)上增长较快的是　　　　. 答案 y=x2
例1(1)下列函数增长速度最快的是(　　)A.y=2 021xB.y=x2 021C.y=lg2 021xD.y=2 021 x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
则关于x呈指数型函数变化的变量是　. 
答案 (1)A　(2)y2
解析 (1)比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象,指数函数增长最快.(2)以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
反思感悟 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数 f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlgax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.
变式训练1下列函数随x的增大函数值增长速度最快的是(　　)
答案 A解析 指数函数y=ax在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快.
例2已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1解 (1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当xx3,即f(x)>g(x);当x1x2时,f(x)>g(x).因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,
所以x1∈[1,2],即a=1.又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.
反思感悟 比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
延伸探究在例2的条件下,结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2 021),g(2 021)的大小.
解 ∵f(1)>g(1),f(2)g(10),∴1x2.从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),∴f(2 021)>g(2 021).又g(2 021)>g(8),∴f(2 021)>g(2 021)>g(8)>f(8).
例3高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时鱼缸内水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是(　　)
答案 B解析 本题考查指对幂增长差异的实际应用.当h=H时,体积是V0,故排除A,C项.h由0到H变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项.
要点笔记函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大,如果函数值增长得越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.
变式训练2如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3 min漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间 t(单位:min)的函数关系表示的图象只可能是(　　)
答案 B解析 由题可知液体漏入桶中的速度是常量,即圆锥体中减少的液体体积与时间成正比,故H下降的速度是逐渐加快的,类似于指数型函数的图象,因此B项正确.
2.函数模型的选择与应用例4某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N+)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N+),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?
解 根据题意可列方程组
同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①式与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130,g(4)=-80×0.54+140=135.与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故指数型选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
要点笔记函数模型的实际应用指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用,可根据增长的快慢特征选择、建立函数模型,再利用指数、对数运算解决问题,已经给出函数模型的,则直接代入相应的数据计算解决.
变式训练3某债券市场发行三种债券,A种面值为100元,一年到期本息和为103元;B种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元,但买入价为97元,一年到期本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,如果只能购买其中的一种债券,你认为应购买哪种?
指数爆炸与生活哲学指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质.对指数运算不熟悉的人,在估计指数运算的值时,可能会出现比较大的误差.例如,你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗?1.01365≈?1.02365≈?0.99365≈?1.01219×0.98146≈?0.9550≈?
有意思的是,如图所示,有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学,你觉得有道理吗?1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 积跬步以至千里 积怠惰以至深渊　　　1.02365≈1 377.41 1.01365≈37.78 多百分之一的努力 得千份收获
1.01219×0.98146≈0.46三天打鱼两天晒网终将一无所获0.9550≈0.08如果每次失败的概率是95%连续失败50次的概率不到8%
1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)A.一次函数B.幂函数C.指数型函数D.对数型函数答案 D解析 初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.
2.某人从甲地去乙地,一开始跑步前进,后来步行,图中横轴表示走的时间,纵轴表示此人与乙地的距离,则较符合该走法的图象是(　　)
答案 D解析 图中给出的是直线模型,符合一次函数模型的特点,结合题意,应选D.
3.(多选题)当a>1时,下列结论正确的是(　　)A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快C.对数函数y=lgax,当a越大时,其函数值的增长越快D.对数函数y=lgax,当a越小时,其函数值的增长越快答案 AD解析 结合指数函数及对数函数的图象可知A,D正确.
4.以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:
其中关于x呈指数型函数变化的函数是　. 
答案 y1解析 以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化,因而y1呈指数型函数变化.
5.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).