湘教版（2019）必修 第一册4.4 函数与方程评优课课件ppt

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1.探索用二分法求函数零点近似值的思路并会画程序框图.(数学抽象)2.能借助计算工具用二分法求函数零点近似值.(数学运算)3.了解用二分法求函数零点近似值具有一般性.(数学抽象)
某电视台财经频道精心打造了一档大型体验式购物节目.这个节目根植于百姓生活,运用“看商品,猜价格”的游戏形式,将各类商品和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人会提示“高了”或“低了”.如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价方法呢?
知识点:二分法1.定义:如图所示,工人在检查线路故障时先从线路的中点C查起,如果CB段正常,就选择CA的中点D测试;如果DA段正常,就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法.
2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法:设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得|x-x0|≤ε.(1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使f(a)与f(b)异号,即 f(a)·f(b)<0 ;
(3)如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止;(4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止;(5)f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2).
微练习(多选题)下列函数图象与x轴均有交点,其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)
答案 ACD解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求函数零点,由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求函数零点.
例1(1)若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是　　　　　　　. (2)若函数f(x)=lg3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
　f(2)≈-0.369 1　　　　f(2.5)≈0.334 0f(2.25)≈-0.011 9f(2.375)≈0.162 4
则方程x-3+lg3x=0的一个近似解(误差不超过0.1)为(　　) 5D.2.4
(2)由参考数据可知f(2.25)f(2.375)<0,且包含零点的区间长度|2.375-2.25|=0.125<0.2,取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.1,于是可取2.312 5作为函数f(x)=lg3x+x-3零点的近似值,也即方程x-3+lg3x=0的近似解.
反思感悟 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的误差范围,用此区间的中点近似地表示真正的零点.2.只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
变式训练1(1)下列函数不能用二分法求零点的是(　　)A.f(x)=2x+3B.f(x)=ln x+2x-6C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=2x-1(2)用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的唯一零点近似值时,已知f(2)f(4)<0,取区间[2,4]的中点x1= =3,计算得f(2)f(x1)<0,则函数零点所在的区间是(　　)A.[2,2.5]B.[2,3]C.[3,4] D.无法确定
答案 (1)C　(2)B解析 (1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧函数值同号,不能用二分法求其零点,故选C.(2)由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0.故函数零点所在的区间是[2,3].
例2求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(误差不超过0.1).分析先确定f(-2)与f(-3)的符号,再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.
解 由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故f(x)在区间[-3,-2]内有一个零点;由f(x)在(-∞,0)上单调递减可知它只有这一个零点.用二分法逐次计算,列表如下:
得出零点的近似值为-2.187 5,误差不超过0.07.所以函数的一个近似负零点可取-2.187 5.
反思感悟 用二分法求方程的近似解的程序框图
延伸探究如将本例改为误差不超过0.2呢?解 由【例2】的表格可知,计算到第3次,包含零点的区间长度小于0.4,取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.2,于是可取-2.125作为负零点的近似值.
以下用二分法求其零点的近似值.由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故f(x)在区间[1,2]内有一个零点;由f(x)单调递增可知它只有这一个零点.用二分法逐步计算,列表如下:
得出零点的近似值为1.258,误差不超过0.008.
要点笔记1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的零点,通过二分法求解.2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于给定的正数ε.
得出零点的近似值为1.437 5,误差不超过0.07.
二分法求函数零点近似值时,区间等分次数的确定
典例 已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点,用二分法求零点的近似值时,若误差不超过0.01,则至少计算中点函数值(　　)A.5次B.6次C.7次D.8次
解析 设对区间(1,2)二等分n次,初始区间长度为1,
5=lg232方法点睛使用二分法求函数零点时,区间(a,b)的等分次数n与给定正数ε的关系是 <2ε,可以通过该关系以及指数、对数的运算求n.
变式训练用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(误差不超过0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则至少需要计算中点函数值的次数是(　　)A.5B.6C.7D.8
解析 设至少需要计算n次,则 <0.002,所以2n>50.因为25=32,26=64,所以要达到精确度至少要计算6次中点函数值,故选B.
1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为(　　)A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3
答案 D解析 由题图知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D.
2.(多选题)下列函数有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(　　)
3.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间可以是(　　)A.[2,3] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-3,-2]
答案 B解析 本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R,故f(x)的一个零点的近似值所在的初始区间为[1,2].
4.(2020湖南浏阳期末)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,则第二次应计算　　　　　. 答案 [0,0.5]　f(0.25)解析 ∵f(0)<0,f(0.5)>0,且函数在区间(0,0.5)上连续,∴可得其中一个零点x0∈[0,0.5].根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算f(0.25).
5.用二分法求函数f(x)=ln x-2+x在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c= ,则下一个含零点的区间是　　　　　.