人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计

【新教材】4.4.3 不同函数增长的差异（人教A版）

1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.

2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.

    1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；

2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；

3.数学运算：由函数图像求函数解析式；

4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；

5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.

重点：比较函数值得大小；

难点：几种增长函数模型的应用．

一、 预习导入

阅读课本136-138页，填写。

1.三种函数模型的性质

2.三种函数的增长速度比较

(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是______,但______不同.

(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而函数y=logax(a>1)的增长速度则会______.

(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有____________.

1.判断正误:

(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(　　)

(2)当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax<xn<ax成立.(　　)

(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.(　　)

2.已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:

则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)

A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3  C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2

题型一    比较函数增长的差异

例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.

(1)指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;

(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.

变式1.在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢?

变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.

跟踪训练一

1. 当a>1时,有下列结论:

①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是(　　)

1. ①③        B.①④   C.②③      D.②④

2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有 (　　)

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3         C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1

题型二   体会指数函数的增长速度

例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.

你觉得哪个公司捐款最多?

跟踪训练二

1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.

(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;

(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)

1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)

A．y＝a＋bx　　　　　　 B．y＝a＋bx

C．y＝ax2＋b   D．y＝a＋

2．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是(　　)

A．y＝50　　　　　　　　 B．y＝1 000x

C．y＝0.4·2x－1   D．y＝ex

3．有一组实验数据如下表所示：

下列所给函数模型较适合的是(　　)

A．y＝logax(a>1)   B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0)   D．y＝logax＋b(a>1)

4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)

A．y1＞y2＞y3   B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y3＞y2   D．y2＞y3＞y1

5．小明2015年用7 200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．

6．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．

7．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

答案

小试牛刀

1.(1)×　(2)×　(3)√

2.C

自主探究

例1 【答案】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.

（2）f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).

【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.

(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,

所以x1<6<x2,2 019>x2,从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).

当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).

因为g(2 019)>g(6),所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).

变式1.【答案】C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.

【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.

变式2.【答案】f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2 019>x2,从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8),当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因为g(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

跟踪训练一

1.【答案】B

2.【答案】B

【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.

例2 【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元.

【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.

由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.

跟踪训练二

1.【答案】(1)A:y=x(x≥0),B:y=(x≥0).

(2)投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.

【解析】(1)A:y=k1x过点(1,0.5),∴k1=.

B:y=k2xα过点(4,2.5),(9,3.75),

∴

∴A:y=x(x≥0),B:y=(x≥0).

(2)设投资B产品x(百万元),则投资A产品(10-x)(百万元),

总利润y=(10-x)+=-(0≤x≤10).

所以当=1.25,x=1.562 5≈1.56时,ymax≈5.78.

故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.

当堂检测 

1-4．BDCB

5．

6．1.75

7.【答案】(1)燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.

【解析】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，

代入题中所给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位．

(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：

v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.