人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优质第二课时学案及答案

第四章 指数函数与对数函数

4.3对数函数

第2课时对数函数图像与性质及其应用

【课程标准】

1．进一步理解对数函数的性质.

2.  能运用对数函数的性质解决相关问题，例如单调性、比较大小、值域等问题.

【知识要点归纳】

1.对数型复合函数的单调性

复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__   __；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为__    _.

对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，单调区间必须是定义域的子集，任何一个端点都不能超出定义域．

2.对数型复合函数的值域

对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；

(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；

(3)求u的取值范围；

(4)利用y＝logau的单调性求解．

3.对数函数图像分布规律

  做直线y=1与所给图像相交，在第一象限，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数大小

4.比较对数的大小

(1)同底数利用对数函数的单调性

(2)同真数的利用图像分布规律或换底公式

(3)底数和真数都不相同的，找中间值

(4)若底数为参数，则需分类讨论

5.对数不等式的解法

（1）将不等式两边换成同底

（2）利用对数函数的单调性

（3）若底数含参数，则需要分类讨论

【经典例题】

比较大小

例1 比较下列各组中两个值的大小：

(1)log31.9，log32；

(2)log23，log0.32；

(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).

[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)

A.loga5.1<loga5.9  B.log2.1>log2.2

C.log1.1(a＋1)<log1.1a  D.log32.9<log0.52.2

对数型复合函数的单调性

1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．

2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).

例2 求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；

例3 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．

注意：求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．

[跟踪训练]2  (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－2)  B.(－∞，1)

C.(1，＋∞)  D.(4，＋∞)

（2）函数f(x)＝log(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.

对数型复合函数的奇偶性

注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．

例4 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．

[跟踪训练]3 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　 　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

对数型复合函数的值域

1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．

2．对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．

例5 求下列函数的值域：

(1)y＝log2(x2＋4)；

(2)y＝(3＋2x－x2)．

[跟踪训练]4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　)

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

解对数不等式

注意：两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.

①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；

②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).

(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.

①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；

②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.

例6 已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

[跟踪训练]5  不等式log(2x＋3)<log(5x－6)的解集为(　　)

A.(－∞，3)  B.

C.  D.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．设，，，则　　

A． B． C． D．

2．已知，，，则，，大小关系为　　

A． B． C． D．

3．已知全集为实数集，集合，，则等于　　

A．， B．， C． D．

4．已知函数的值域为，则实数的取值范围为　　

A．， B．， 

C．，， D．

二．填空题（共3小题）

5．函数的最大值为　　．

6．若函数有最小值，则的取值范围是　　．

7．函数且在，上的最大值与最小值之和为，则的值为　 　．

三．解答题（共2小题）

8．已知函数的定义域是，．设．

（1）求函数的解析式及定义域；

（2）求函数的最值．

9．设为奇函数，为常数．

（1）求的值；

（2）证明在区间内单调递增；

（3）若对于区间，上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．设，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】可以得出，然后即可得出，，的大小关系．

【解答】解：，，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．

2．已知，，，则，，大小关系为　　

A． B． C． D．

【分析】可以得出，然后即可得出，，的大小关系．

【解答】解：，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

3．已知全集为实数集，集合，，则等于　　

A．， B．， C． D．

【分析】可以求出集合，，然后进行补集和交集的运算即可．

【解答】解：或，，

，

，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

4．已知函数的值域为，则实数的取值范围为　　

A．， B．， 

C．，， D．

【分析】结合对数函数的值域为，等价转化为是值域的子集，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．

【解答】解：函数的值域为，

设，则能取遍所有的正数，即是值域的子集，

当时，的值域为，满足条件．

当时，要使是值域的子集，则满足得，

此时，

综上所述，，

故选：．

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的值域为，等价转化为是值域的子集是解决本题的关键．

二．填空题（共3小题）

5．函数的最大值为　0　．

【分析】根据二次函数的性质求出真数的范围，即可求出结论．

【解答】解：令，

对称轴为，，

当时，，

当时，，

函数的最大值为：，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查对数函数以及二次函数的性质，属于基础题．

6．若函数有最小值，则的取值范围是　　．

【分析】先根据复合函数的单调性确定函数的单调性，进而分和两种情况讨论：①当时，考虑对数函数的图象与性质得到的函数值恒为正；②当时，△恒成立，没有最大值，从而不能使得函数有最小值．最后取这两种情形的并集即可．

【解答】解：令，

①当时，在上单调递增，

要使有最小值，必须，

△，

解得

；

②当时，没有最大值，从而不能使得函数有最小值，不符合题意．

综上所述：；

故答案为：．

【点评】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．

7．函数且在，上的最大值与最小值之和为，则的值为　　．

【分析】无论，还是时，则函数在，上单调，由题意可得：，解得，即可得出．

【解答】解：无论，还是时，则函数在，上单调，

由题意可得：，解得，

故答案为：．

【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三．解答题（共2小题）

8．已知函数的定义域是，．设．

（1）求函数的解析式及定义域；

（2）求函数的最值．

【分析】第一步得到解析式和的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．

【解答】解：（1）由题意可得

，且，

进一步得：，且定义域为【2，8】，

（2）令，则，，

，

在【1，3】递减

的值域为【（3），（1）】，即【，1】，

当时，有最小值，

当时，有最大值1．

【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．

9．设为奇函数，为常数．

（1）求的值；

（2）证明在区间内单调递增；

（3）若对于区间，上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得；

（2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证；

（3）由题意可得即恒成立．令．只需，由的单调性即可得到最小值．

【解答】解：（1）由是奇函数，即为，

则，即有，

即有，解得，

检验（舍，故．

（2）由（1）知，

证明：任取，，即有，

即，即，

即有，

即，在内单调递增．

（3）对于，上的每一个的值，不等式恒成立，

即恒成立．

令．只需，

又易知在，上是增函数，

（2），

则当时原式恒成立．

【点评】本题考查函数的性质和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，属于中档题．