高中第五章 三角函数本章综合与测试同步测试题

专题强化练10　三角函数式的恒等变形

一、选择题

1.(2020湖北四校高一期中联考,)若cos=,则sin的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.- B. C.- D.

2.(2020四川攀枝花高一上教学质量监测,)已知tan(α-β)=,tan=,则tan=(　　)

A. B.

C. D.

3.(2019四川成都高三二诊,)若α,β∈,且sin α=,sin(α-β)=-,则sin β=(　　)

A. B.

C. D.

4.(2019天津南开高一上期末,)在△ABC中,若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

5.(2020河北张家口高一上期末教学质量监测,)函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最大值是(　　)

A. B.1 C. D.1+

二、填空题

6.(2019河南顶级名校高三第四次联考,)已知α∈,β∈,sin(2α+β)=sin β,则=　　　　. 

7.(2020天津六校期末联考,)已知=,则tan α+=　　　　. 

8.()求值:-=　　　　. 

9.(2019重庆高一3月联考,)若<α<π,0<β<,且sin=,cos=-,则cos(α+β)=　　　　. 

三、解答题

10.(2020广东佛山高一上期末,)已知sin α=,α∈.

(1)求cos α和tan(α+π)的值;

(2)求sin和cos.

11.(2019首都师范大学附属中学高三一模,)已知函数f(x)=sin-2sincos.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)已知x1,x2是函数y=f(x)-的两个零点,求|x1-x2|的最小值.

答案全解全析

一、选择题

1.A　令θ=α+,则-2α=-2θ,

故sin=sin=cos 2θ=2cos2θ-1=-,故选A.

2.C　∵tan(α-β)=,tan=,

∴tan=tan===.故选C.

3.B　∵<α<π,<β<π,∴-π<-β<-,

∴-<α-β<.∵sin(α-β)=-<0,

∴-<α-β<0,则cos(α-β)===.

∵sin α=,

∴cos α=-=-

=-=-,则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.

4.D　由已知可得sin(A+B)+sin(B-A)=2·sin Acos A,∴2sin Bcos A=2sin Acos A,

∴cos A=0或sin B=sin A,∴A=或A=B,故△ABC为直角三角形或等腰三角形.

5.A　f(x)=sin2x+sin xcos x=+sin 2x=+sin,

∵≤x≤,∴≤2x-≤,

∴f(x)max=+1=.故选A.

二、填空题

6.答案　5

解析　因为sin(2α+β)=sin β,

所以sin[(α+β)+α]=sin[(α+β)-α],

所以sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α

=[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],

所以sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α,

所以tan(α+β)=5tan α,所以=5.

7.答案　

解析　由==,可得cos α-sin α=,两边分别平方,得

1-2sin αcos α=,

∴2sin αcos α=,∴sin αcos α=,

∴tan α+==.

故答案为.

8.答案　4

解析　-

=

=

=

==4.

9.答案　-

解析　因为sin=,且<α<π,所以cos=-.

因为cos=-,且0<β<,

所以sin=.

因为α++β+=α+β+,

所以cos(α+β)=sin,

即cos(α+β)=sin=×-×=-.

三、解答题

10.解析　(1)∵sin α=,α∈,

∴cos α=-=-,

∴tan(α+π)=tan α==-.

(2)sin=sin α+cos α=-,

cos=cos αcos+sin αsin=-×+×=.

11.解析　(1)f(x)=sin-2sinx-cos

=sincos 2x-cossin 2x-2sinx-cos

=cos 2x+sin 2x+2sinx-·cos

=cos 2x+sin 2x+sin

=cos 2x+sin 2x-cos 2x

=sin 2x-cos 2x=sin,

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

即函数的单调递增区间为,k∈Z.

(2)∵x1,x2是函数y=f(x)-的两个零点,∴令y=f(x)-=0,得f(x)=,

则由sin=得

2x1-=2k1π+,k1∈Z①,

2x2-=2k2π+,k2∈Z②,

②-①,得2(x2-x1)=2(k2-k1)π+,k1,k2∈Z,即x2-x1=(k2-k1)π+,k1,k2∈Z,

则|x1-x2|=,k1,k2∈Z,∴当k1=k2时,|x1-x2|取得最小值,最小值为.