人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用当堂检测题

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1.C [解析] 由题意知A=2,f=1T=ω2π=14π,初相为-π3.
2.A [解析] 根据题意得,ω=2πT=2π12=π6(T为函数的最小正周期),排除选项C,D.当t=3时,3sinπ6t+12=3sinπ6×3+12=15,符合题意,-3sinπ6t+12=-3sinπ6×3+12=9,不符合题意,排除选项B.故选A.
3.D [解析] 由题中图像及简谐运动的有关知识知,周期T=0.8 s,振幅A=5 cm,当t=0.1 s或t=0.5 s时,运动速度v=0.故选D.
4.D [解析] 设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(ω>0),则A=3,周期T=2πω=3,故ω=2π3,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=π2+2kπ,k∈Z,结合选项可知选D.
5.A [解析] 方法一:由f(3)=9可排除D;由f(7)=5可排除B;由A=9-52=2可排除C.故选A.
方法二:由题意,可得A=9-52=2,b=7,f(x)的最小正周期T=2πω=2×(7-3)=8.∴ω=π4,∴f(x)=2sinπ4x+φ+7.当x=3时,y=9,∴2sin3π4+φ+7=9,即sin3π4+φ=1.∵|φ|<π2,∴φ=-π4,∴f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N*).
6.C [解析] 由表知,当x=1时,函数取得最小值,结合选项分析可知选C.
7.C [解析] 因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=10 000,当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9 500,所以ω可取3π2,φ可取π,即y=500sin3π2x+π+9500,当x=3时,y=9000.
8.ABD [解析] 由题意知A=10,k=5,周期T=604=15,所以ω=2πT=2π15,所以d=10sin2π15t+φ+5.又当t=0时,d=0,所以10sin φ+5=0,所以sin φ=-12,又-π2<φ<π2,所以φ=-π6.故选ABD.
9.23 3πx-π [解析] 因为频率f=32,所以T=1f=23,所以ω=2πT=3π,所以相位为ωx+φ=3πx-π.
10.①②③ [解析] 当t=0时,s=2sin0+π4=2,故①正确;smin=-2,故②正确;函数的最小正周期T=2π,故③正确.综上所得正确的说法是①②③.
11.7 [解析] 函数y=-sinπ2x的最小正周期T=4,且当x=3时,y取得最大值1,因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.
12.4 [解析] 由题意得40sinπ6t-π2+50>70,即csπ6t<-12,得2π3+2kπ<πt6<4π3+2kπ,k∈Z,∴4+12k13.解:(1)设y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
则-A+b=700,A+b=900,解得A=100,b=800.
又函数的最小正周期T=2×(6-0)=12,
∴ω=2πT=π6,∴y=100sinπ6t+φ+800.
又当t=6时,y=900,∴900=100sinπ6×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,取φ=-π2,
∴y=100sinπ6t-π2+800(0≤t≤11,t∈N*).
(2)当t=2时,y=100sinπ6×2-π6+800=850,
即当年3月1日动物种群数量约是850.
14.解:(1)设y轴与水面交点为B,如图所示.
由OB=1,OP0=2,得∠BOP0=π3,∠xOP0=π6.
设h=2sinωt-π6+1(ω>0),则T=2πω=3,解得ω=2π3,
所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h=2sin2π3t-π6+1(t≥0).
(2)由h=2sin2π3t-π6+1≥2,得sin2π3t-π6≥12.
令t∈[0,3],则2π3t-π6∈-π6,11π6,
所以π6≤2π3t-π6≤5π6,解得12≤t≤32,
又 32-12=1,所以在水轮转动的任意一圈内,有1秒时间点P距水面的高度超过2米.
15.B [解析] 根据题意知,|OM|=|OP||cs x|=|cs x|,则点M到直线OP的距离为|OM||sin x|=|cs xsin x|,∴f(x)=|cs xsin x|=12|sin 2x|,故选B.
16.(1)50 30 (2)y=10sinπ6x+π6+40,x∈[8,14] [解析] (1)由题图得,这段时间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.
(2)观察图像可知,8~14时的图像是y=Asin(ωx+φ)+b在半个周期内的图像,∴A=12×(50-30)=10,b=12×(50+30)=40.∵12×2πω=14-8,∴ω=π6,∴y=10sinπ6x+φ+40.将(8,30)代入上式,得sin43π+φ=-1,又|φ|<π2,∴φ=π6,∴所求解析式为y=10sinπ6x+π6+40,x∈[8,14].
17.解:(1)以时间为横坐标,活动人数为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.
根据图像,可考虑用函数y=Asin(ωt+φ)+h描述网吧的人数与时间之间的对应关系.
从图像和数据可以得出函数关系为y=50sinπ6t+100,t∈[0,24].
(2)令50sinπ6t+100=140,得sinπ6t=0.8,
可得t≈1.771,再由正弦函数的单调性、周期性得,当t∈[1.771,4.229]或t∈[13.771,16.229]时,140≤y≤150,
即机动人员这段时间内应在网吧工作,每天需要工作近5个小时.