人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用达标测试

5.7  三角函数的应用

题型一 圆周运动

【例1】（河北沧州市一中高一开学考试）如图，某公园摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.

（1）已知在时刻时点距离地面的高度，求时点距离地面的高度；

（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？

【题型专练】

1．（佛山市南海区罗村高级中学高一月考）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处，则（米）关于（分钟）的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

2．（广东高一期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．

（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

题型二 几何问题

【例2】（江苏高一期中）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达D处，休息后继续行驶到达山顶B．

（1）求山的高度；

（2）现山顶处有一塔从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为若点P处高度，则x为何值时，视角最大？

【题型专练】

1．（全国）某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC中，AB＝2百米，BC＝4百米，三角形区域ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域BCD内修建水上项目，则△BCD的最大面积为（    ）

A．（3+4）平方百米 B．（3+2）平方百米

C．（4+2）平方百米 D．（4+2）平方百米

2．（江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）

A．18m B．20m C．24m D．30m

3．（全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ）

A． B． C． D．

题型三 其他问题

【例3】（全国高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

【题型专练】

1（山东潍坊·高一期中）潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．

下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：

（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；

（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）

2（全国高一课时练习）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，，)，且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃，从2时到14时为半个周期.

（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；

（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？

注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).

3．（湖南湘西·）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数

（1）求出这段曲线的函数解析式；

（2）求满足条件的x的取值范围．

4．（辽宁葫芦岛·）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表．

据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述．

（1）根据表中数据，做出函数简图：

（2）结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值；

（3）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停多久？