高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换同步达标检测题

5.5.2　简单的三角恒等变换

基础过关练

题组一　三角函数式的求值问题

1.若cos 2α=-,且α∈,则sin α=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B. C.  D.-

2.=(　　)

A.1 B.2 C. D.

3.已知sin-cos=-,450°<α<540°,则tan的值为　　　　. 

4.已知cos(π-α)=,α∈(-π,0).

(1)求sin α的值;

(2)求cos2+sinsin的值.

5.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos与tan的值.

题组二　三角函数式的化简与证明问题

6.化简的结果是　　　　. 

7.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0,b∈R),则A=　　　　,b=　　　　. 

8.化简=　　　　(其中180°<α<360°). 

9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,sin Acos2+sin Ccos2=sin B,求证:sin A+sin C=2sin B.

题组三　三角恒等变换的综合应用

10.函数y=的最小正周期等于(　　)

A. B.π C.2π D.3π

11.函数y=sin 2x+sin2x的值域是(　　)

A. B.

C. D.

12.函数y=sincos x的最大值为(　　)

A. B. C.1 D.

13.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是(　　)

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形  D.直角三角形

14.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1.

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的集合;

(2)若α∈,且f(α)=,求cos 2α的值.

能力提升练

题组一　三角函数式的求值问题

1.(2019辽宁凌源高二期末,)已知=2,则sin 2α=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.- C. D.-

2.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,)已知tan α=2,则tan+tan 2α=(　　)

A.-1 B.1 C. D.

3.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)已知α为第三象限角,且sin α+cos α=2m,sin 2α=m2,则m的值为(深度解析)

A. B.- C.- D.-

4.(多选)()下列各式中,值为的是(　　)

A. B.tan 15°cos215°

C.cos2-sin2 D.

5.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)设α∈,已知sin α+cos α=.

(1)求tan的值;

(2)求cos的值.

6.(2019北师大附中高一上期末,)已知α∈,且cos α=-.

(1)求tan α的值;

(2)求的值.

7.(2019浙江宁波镇海中学高一期末,)设α,β∈(0,π),且sin(α+β)=,tan=3.

(1)求cos α的值;

(2)求cos β的值.

8.(2020山东滨州高一上期末,)在①tan α=4,②7sin 2α=2sin α,③cos=这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.

已知α∈,β∈,cos(α+β)=-,　　　,求cos β. 

题组二　三角函数式的化简与证明问题

9.(2019甘肃武威第十八中学单元检测,)若<θ<π,则-=(　　)

A.2sin-cos B.cos-2sin

C.cos D.-cos

10.(多选)()下列各式与tan α相等的是(　　)

A.

B.

C.·(α∈(0,π))

D.

11.(2020山东烟台高一上期末,)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.

cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°;

cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°);

cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°sin(-140°).

(1)求出这个常数;

(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

题组三　三角恒等变换的综合应用

12.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin x+acos x(a∈R)图象的一条对称轴是直线x=,则a的值为(　　)

A.5 B. C.3 D.

13.(2020天津一中高一上期末,)下列函数中,以为最小正周期的偶函数是(　　)

A.y=sin 2x+cos 2x B.y=sin 2xcos 2x

C.y=cos D.y=sin22x-cos22x

14.(2019天津六校期末联考,)已知A是函数f(x)=2sin+cos的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

15.(多选)()已知函数f(x)=cos 2x-2sin xcos x,则下列结论中正确的是(　　)

A.存在x1,x2,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立

B.f(x)在区间上单调递增

C.函数f(x)的图象关于点对称

D.函数f(x)的图象关于直线x=对称

16.(2020福建福州八县(市、区)一中高一上期末联考,)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,则cos(α-β)=　　　　.深度解析 

17. (2019天津河西高一上期末,)已知函数f(x)=2cos xsin+sin2x+sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间[0,π]上的单调性.

答案全解全析

基础过关练

1.A　因为α∈,所以sin α>0,由半角公式可得sin α==.

2.C　 原式====.

3.答案　2

解析　由题意得=,即1-sin α=,∴sin α=.

∵450°<α<540°,

∴cos α=-,

∴tan===2.

4.解析　(1)∵cos(π-α)=-cos α=,

∴cos α=-.

又∵α∈(-π,0),∴sin α=-=-.

(2)cos2+sin·sin=+·=+sin α+sin·cos=+sin α+sin α=+sin α=+=.

5.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,

所以cos α=-,cos β=.

所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.

因为<α<π,且0<β<,所以0<α-β<π.

解法一:由0<α-β<π可得,0<<,

所以cos==
=,

sin==.

所以tan==.

解法二:同解法一,求得cos =.

由0<α-β<π,cos(α-β)=,得

sin(α-β)==.

所以tan===.

6.答案　sin 1+cos 1

解析　

=

=

=|sin 1+cos 1|.

因为1∈,所以sin 1>0,cos 1>0,

则=sin 1+cos 1.

7.答案　;1

解析　2cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+1=sin+1,∴A=,b=1.

8.答案　cos α

解析　原式=

=

=

=.

因为180°<α<360°,所以90°<<180°,

所以cos<0,所以原式=cos α.

9.证明　由sin Acos2+sin Ccos2=sin B,

得sin A·+sin C·=·sin B,

即sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C=3sin B,

∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,

∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,

即sin A+sin C+sin B=3sin B,

∴sin A+sin C=2sin B.

10.C　由y==tan,得最小正周期T==2π.

11.C　y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=+sin,

∴函数的值域为.

12.B　y=sincos x

=sin xcos cos x-cos xsin cos x

=sin xcos x-cos2x

=sin 2x-·

=sin 2x--cos 2x

=sin-,

∴ymax=-=.

13.B　sin Asin B=cos2=(1+cos C),即

2sin Asin B=1+cos C=1-cos(A+B),

∴2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B,变形得cos(A-B)=1,

又因为A-B∈(-π,π),∴A-B=0,即A=B,不能说明△ABC是直角三角形或等边三角形,则△ABC是等腰三角形.

14.解析　(1)f(x)=sin+2cos2x-1

=sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x

=sin 2x+cos 2x=sin.

所以当2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时, f(x)max=1,

相应x的取值集合为xx=kπ+,k∈Z.

(2)由(1)知f(α)=sin=.

由<α<,得<2α+<,

所以cos=-.

因此cos 2α=cos

=cos 2α+cos+sin·sin

=×+×=.

能力提升练

1.D　由=2,可得=2,即tan α=-4,

所以sin 2α===-.

2.A　tan+tan 2α=+=+=-=-1,故选A.

3.B　依题意得sin 2α=2sin αcos α=m2,

又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+m2=4m2,∴m2=.

由α是第三象限角知,sin α+cos α=2m<0,

∴m=-,故选B.

解题模板　利用sin α+cos α与sin αcos α的关系列等式,解方程求m的值,解题时要运用角的范围确定m的符号,防止符号错误导致结论错误.

4.ACD　A符合,原式=×=tan 45°=;B不符合,原式=sin 15°·cos 15°=sin 30°=;C符合,原式=cos=;D符合,原式=sin 30°=.故选ACD.

5.解析　(1)因为sin α+cos α=,

所以sin=.

因为α∈,所以α+∈,所以cos=.

所以tan=.

(2)cos=2cos2α+-1=2×-1=.

因为α∈,所以2α+∈,所以sin=,

所以cos=cos

=coscos-sin2α+·sin=×-×=.

6.解析　因为α∈,cos α=-,

所以sin α===,所以tan α==-.

(2)由(1)知sin α=,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,

因此==-7.

7.解析　(1)解法一:tan=tan+-==,

∴cos α=cos2-sin2

====.

解法二:令θ=+,则tan θ=3.

cos α=sin=sin 2θ=2sin θcos θ====.

(2)∵α∈(0,π),∴sin α>0,

∴sin α==.

∵sin(α+β)=,且<,∴sin(α+β)<sin α,由cos α>0,且α∈(0,π),可得α∈.∵β∈(0,π),∴α+β∈.若α+β∈,∵函数y=sin x在上是增函数,且sin(α+β)<sin α,

∴α+β<α,即β<0,这与β∈(0,π)矛盾,

∴α+β∈,

∴cos(α+β)=-=-.

∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-.

8.解析　方案一:选条件①.

解法一:因为tan α=4,所以=4.

则

解得或

因为α∈,所以

因为cos(α+β)=-,且sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,

所以sin2(α+β)=.

因为α∈,β∈,

所以0<α+β<π,

所以sin(α+β)=.

所以cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=-×+×

=.

解法二:因为α∈,tan α=4,

所以点P(1,4)在角α的终边上,

所以cos α==,

sin α==.

以下同解法一.

方案二:选条件②.

因为7sin 2α=2sin α,

所以14sin αcos α=2sin α.

因为α∈,所以sin α≠0 ,

所以cos α=.

又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=.

因为α∈,所以sin α=.

以下同方案一的解法一.

方案三:选条件③.

因为cos=,所以cos α=2cos2-1=.

由sin2α+cos2α=1,得sin2α=.

因为α∈,所以sin α=.

以下同方案一的解法一.

9.D　∵<θ<π,∴<<,∴sin>cos>0.

∵1-sin θ=sin2+cos2-2sincos=,(1-cos θ)=sin2,

∴-

=-

=sin-cos-sin

=-cos.

10.CD　A不符合,===|tan α|;B不符合,==tan;C符合,因为α∈(0,π),所以原式=·==tan α;D符合,==tan α.故选CD.

11.解析　 (1)cos215°+cos215°-sin 15°·sin 15°

=2cos215°-sin215°

=1+cos 30°-(1-cos 30°)

=1+-×=.

(2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=.

证明:∵α+β=30°,∴β=30°-α,

cos2α+cos2β-sin αsin β

=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)

=cos2α+-sin α·

=cos2α+cos2α+cos αsin α+sin2α-cos αsin α+sin2α

=cos2α+sin2α=.

12.D　函数f(x)=sin x+acos x=sin(x+θ),其中tan θ=a,θ∈,

其图象关于直线x=对称,所以θ+=,解得θ=,所以tan θ=a=,故选D.

13.D　选项A中,y=sin,最小正周期为π,故A错误;选项B中,y=sin 4x,最小正周期为,是奇函数,故B错误;选项C中,y=-sin 4x,最小正周期为,是奇函数,故C错误;选项D中,y=-cos 4x,最小正周期为,是偶函数,故选D.

14.C　∵f(x)=2sin+cos

=sin 2 018x+cos 2 018x+·cos 2 018x+sin 2 018x

=3

=3sin,

∴A=f(x)max=3,周期T==,

又存在实数x1,x2,对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,

∴f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3,

|x1-x2|的最小值为T=,又A=3,

∴A·|x1-x2|的最小值为.故选C.

15.AC　易知f(x)=2sin=2sin,∴f(x)的最小正周期T=π,A正确;令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z),B错误;

∵对称中心的横坐标满足2x+=kπ(k∈Z),∴x=-(k∈Z),当k=1时,x=,C正确; f=2sin2×+=-≠±2,D错误.故选AC.

16.答案　

解析　设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.

因此4cos α-4sin α=3⇒cos α-sin α=,①

4sin β-4cos β=3⇒sin β-cos β=.②

①×②,得sin βcos α-sin βsin α-cos αcos β+sin αcos β=.

又sin α=cos β,cos α=sin β,

∴sin2β-(cos αcos β+sin αsin β)+cos2β=,

∴cos(α-β)=1-=.

思路探究　利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.平时学习中要学会积累恒等变形的经验.

17.解析　(1)f(x)=2cos xsin+sin2x+sin xcos x

=2cos x+sin2x+sin xcos x

=sin 2x-cos 2x=2sin,

故f(x)的最小正周期为=π.

(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,可得函数的单调递增区间为,k∈Z.

又x∈[0,π],所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.