高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）综合训练题

4.5.2　用二分法求方程的近似解

必备知识基础练

1.下面关于二分法的叙述，正确的是(　　)

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循

D．只有在求函数零点时才用二分法

2．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)

3．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1  B．x2

C．x3  D．x4

4.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.9  B．0.7

C．0.5  D．0.4

5．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)

A．|a－b|<0.1     B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001   D．|a－b|＝0.001

6．用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.

7.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．

8．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：

(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？

关键能力综合练

一、选择题

1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)

A．[－1,0]  B．[0,1]

C．[1,2]    D．[2,3]

2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x，f(x)对应值：

由表可知函数y＝f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

3．设函数y＝x2与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

4．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的解落在区间(　　)

A．(2,2.25)  B．(2.25,2.5)

C．(2.5,2.75)  D．(2.75,3)

5．(探究题)在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是 (　　)

A．[1,4]     B．[－2,1]

C.   D.

6．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可知f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值约为(精确到0.01)(　　)

A．1.55  B．1.56

C．1.57  D．1.58

二、填空题

7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)×f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)×f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．

8．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.

9．(易错题)函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．

三、解答题

10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．

学科素养升级练

1．(多选题)函数f(x)＝x3＋3x－2的一个正零点所在的区间不可能是(　　)

A．(3,4)  B．(2,3)

C．(1,2)  D．(0,1)

2．已知f(x)＝－ln x，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝________.若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则至少需要将区间等分________次．

3．(情境命题—生活情境)现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？

4．5.2　用二分法求方程的近似解

必备知识基础练

1．解析：只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错误．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错误．求方程的近似解也可以用二分法，故D错误．

答案：B

2．解析：观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．

答案：B

3．解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.

答案：C

4．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)，∴选B.

答案：B

5．解析：根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|小于精确度0.001时，便可结束计算．

答案：B

6．答案：(1,2)

7．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

答案：4

8．解析：(1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD.

(2)能．

关键能力综合练

1．解析：因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以初始区间可选为[1,2]．

答案：C

2．解析：由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以函数y＝f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点．

答案：D

3．解析：令f(x)＝x2－x－2，因f(1)＝1－1－2＝1－2<0，f(2)＝22－0＝4－1>0，故x0∈(1,2)，故选B.

答案：B

4．解析：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.

答案：C

5．解析：∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.

答案：D

6．解析：由二分法，可知零点在(1.556 2,1.562 5)内，所以零点的近似值约为1.56.

答案：B

7．解析：∵f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)内．

答案：(2,3)

8．解析：由＜0.1，得2n－1＞10，∴n－1≥4，即n≥5.

答案：5

9．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.

答案：a2＝4b

10．解析：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．

因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.

学科素养升级练

1．解析：函数f(x)＝x3＋3x－2，把x＝0,1,2,3,4代入，若f(a)·f(b)<0，则零点在(a，b)，f(0)＝－2<0，f(1)＝2>0，f(2)＝12>0，f(3)＝34>0，f(4)＝76>0，所以f(0)<0，f(1)>0，所以函数的零点在(0,1)，故选ABC.

答案：ABC

2．解析：f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1>0，f(2)＝－ln 2<0，∴f(x)的零点x0∈(1,2)，故n＝1.设至少需等分n次，则n≤0.1且n∈N，解得n≥4，故至少需等分4次．

答案：1　4

3．解析：先在天平左右各放4个球，有两种情况：

(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．

取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端．

①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；

②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．

(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．

从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．

①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；

②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；

③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．

显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出．