高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）习题

第四章　4.5　4.5.2

A组·素养自测

一、选择题

1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　)

A．x1　　 B．x2　　

C．x3　　 D．x4

[解析]　用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．

2．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的大致区间是(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵f＝＋lg－3＝lg－<0，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，f＝＋lg－3＝lg－<0，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，f＝＋lg－3＝＋lg>0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C．

3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　B　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]　由f(x)＝2x＋x3－2得f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，

∴f(0)f(1)<0.

又∵y1＝2x，y2＝x3在(0,1)上单调递增，

∴f(x)在(0,1)上单调递增，

∴函数f(x)在(0,1)内有唯一的零点，故选B．

4．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是(　A　)

A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)

C．(－1,1) D．[－1,1]

[解析]　记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1,0)的左方，另一个在点(1,0)的右方，

∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.

∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．

二、填空题

5．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是__(2)__.

(1)(－1,0)；(2)(0,1)；(3)(1,2)；(4)(2,3)．

[解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147<0，F(0)＝－0.44<0，F(1)＝0.542>0，F(2)＝0.739>0，F(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．

6．函数f(x)＝的零点个数是__2__.

[解析]　当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．

当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，

令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象(图略)，

则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．

综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.

三、解答题

7．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)当m＝0时，由f(x)＝x－a＝0，得x＝a，此时a∈R.

(2)当m≠0时，令f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解，

即Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立，

则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，即－1≤a≤1.

所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，实数a的取值范围是[－1,1]．

B组·素养提升

一、选择题

1．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　C　)

A．1.2 B．1.3

C．1.4 D．1.5

[解析]　依据题意，∵f(1.437 5)＝0.162，且f(1.406 25)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．

2．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，)，(0，)，(0，)，则下列说法不正确的是(　ACD　)

A．函数f(x)在区间(0，)内一定有零点

B．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点，或零点是

C．函数f(x)在区间(，a)内无零点

D．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点

[解析]　根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，)或(，)中或零点是.故选ACD．

二、填空题

3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝__0.25__.

[解析]　∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，

∴f(x)在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，

则第二次应计算f＝f(0.25)，∴x1＝0.25.

4．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4__次就可以发现这枚假币．

[解析]　将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在平天两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

三、解答题

5．已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

[解析]　作出y＝|3x－1|的图象，如图所示．

当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．

综上所述，当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一解；当0<k<1时方程有两解．