高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）复习练习题

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A级 基础巩固

1.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)·f(a+b2)>0,则( )
A.f(x)在区间a,a+b2上有零点
B.f(x)在区间a+b2,b上有零点
C.f(x)在区间a,a+b2上无零点
D.f(x)在区间a+b2,b上无零点
答案:B
2.如果函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
答案:C
3.用二分法求方程2x+3x-9=0在区间[1,3]上的近似根时,取中点2,则下一个有根区间是(1,2).
4.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为0.687 5(答案不唯一).(精确度为0.1)
5.用二分法求函数f(x)=x2-5的零点的近似值(精确度为0.1).
解:因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,
所以f(2.2)f(2.4)<0,
说明这个函数在区间(2.2,2.4)上有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,则f(2.3)=0.29.
因为f(2.2)f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062 5.
因为f(2.2)f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25).
因为|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以函数f(x)=x2-5的零点的近似值可取为2.25.
B级 能力提升
6.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:设等分的最少次数为n,则由0.12n<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.
答案:B
7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,至少4次就一定可以发现这枚假币.
解析:将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,至少称4次就一定可以发现这枚假币.
8.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.
证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
因为a+b+c=0,所以a=-b-c,因为-b-2c>0,
所以-b-c>c,即a>c.
因为f(0)>0,所以c>0,所以a>0.
取区间(0,1)的中点12,
则f(12)=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0.
因为f(0)>0,f(1)>0,
所以函数f(x)在区间(0,12)上和区间(12,1)上各有一个零点.
又因为f(x)为二次函数,最多有两个零点,所以方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.
C级 挑战创新
9.多选题下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是( )
A.y=2x+1 B.y=-x+1,x≥0,x+1,x<0
C.y=12x2+4x+8 D.y=|x|
解析:对于选项C,y=12x2+4x+8=12(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A,B有零点,且可用二分法求零点的近似值.
答案:CD
10.多空题某同学在借助计算器求方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是1.5,1.75,1.875,1.812 5.
解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-
0.260
f(1.437 5)≈
0.162