数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）一课一练

课时素养评价  三十八

用二分法求方程的近似解

(15分钟　30分)

1.在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间              (　　)

A.(1，1.25)    B.(1.25，1.5)

C.(1.5，2)    D.不能确定

【解析】选B.因为f(1)<0，f(1.5)>0，

所以在区间(1，1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点，又因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，

所以在区间(1.25，1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点，由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25，1.5)内.

2.某同学用二分法求方程ln x+2x-6=0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程ln x+2x-6=0的近似解，那么该近似解的精确度应该为              (　　)

A.0.1     B.0.01

C.0.001    D.0.000 1

【解析】选B.根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，区间的长度为1，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，

则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为=，不能确定方程的近似解，

当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为=，确定了方程的近似解，

则该近似解的精确度应该在之间，

分析选项：B在区间内.

3.(2020·锦州高一检测)函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1，1)和区间(1，2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是              (　　)

A.-3<a<1    B.<a<1

C.-3<a<    D.a<-3或a>

【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1，1)和区间(1，2)上分别存在一个零点，

所以即，

解得<a<1.

4.(2020·重庆高一检测)关于x的方程2 020x=有实数根，则实数a的取值范围为_____. 

【解析】设y=2 020x，则y的值域为(0，+∞)，

所以2 020x=有实数根⇔>0，

即<0，所以(3a+2)(a-5)<0.

解得，a∈ .

答案：

5.已知方程2x+2x=5.

(1)判断该方程解的个数以及所在区间；

(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).

参考数值：

【解析】(1)令f(x)=2x+2x-5.

因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数，

所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.

因为f(1)=21+2×1-5=-1<0，

f(2)=22+2×2-5=3>0，

所以方程2x+2x=5有一解在(1，2)内.

(2)用二分法逐次计算，列表如下：

因为|1.375-1.25|=0.125>0.1，

且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1，

所以函数的零点近似值为1.312 5，

即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.

(25分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.设关于x的方程4x--b=0(b∈R)，若该方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是              (　　)

A.[-1，0]   B.[-1，0)

C.(-1，0)   D.(0，1)

【解析】选C.令t=2x(t>0)，

则原方程可化为：t2-2t-b=0(t>0)，

关于x的方程4x--b=0(b∈R)，若有两个不相等的实数解，

即方程t2-2t-b=0有两个不相等的正根.

因为t1+t2=2>0，所以解得-1<b<0.所以b的取值范围是(-1，0).

2.根据下表，能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是 (　　)

A.(-1，0)    B.(0，1)

C.(1，2)     D.(2，3)

【解析】选B.设函数h(x)=f(x)-g(x)，

则h(-1)=f(-1)-g(-1)

=-0.677-(-0.530)=-0.147<0，

h(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.440<0，

h(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0，

h(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0，

h(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0，

所以h(0)·h(1)<0，由零点存在定理，得函数h(x)=f(x)-g(x)的零点存在区间为(0，1).

3.某方程在区间(2，4)内有一个实根，若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值，则应将此区间二等分的次数为              (　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

【解析】选D.等分1次，区间长度为1；等分2次，区间长度变为0.5；…；等分4次，区间长度变为0.125；等分5次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.定义域和值域均为[-a，a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是              (　　)

A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解

B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解

C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解

D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解

【解析】选AD.根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；函数g(x)在区间上单调递减，

所以方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2020·苏州高一检测)已知函数f(x)=若方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是_______. 

【解析】若x<0，可得x-2=ax，

即x=<0，解得a>1；

由x>0，可得-x3+4x2=ax，可得x2-4x+a=0，有两个不等的正根，可得Δ=16-4a>0，a>0，解得0<a<4，方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根，可得1<a<4.

答案：1<a<4

6.已知函数f(x)=-2x，则f_______f(1)(填“>”或“<”)；f(x)在区间上存在零点，则正整数n=_______. 

【解析】易知函数f(x)=-2x为减函数，

则f>f(1)，因为f(1)=1-2=-1，f=2->0，所以f(1)f<0，

所以函数f(x)的零点所在的区间为，

因为f(x)在区间上存在零点，

所以=，解得n=2.

答案：>　2

【补偿训练】

　　若方程lg x=2-x的根x0∈(k-1，k)，其中k∈Z，则实数k=_______. 

【解析】因为lg x=2-x，所以lg x+x-2=0，

令g(x)=lg x+x-2，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，因为g(1)=-1<0，g(2)=lg 2>0.

由零点存在定理可知，x0∈(1，2)，

因为x0∈(k-1，k)，其中k∈Z，则k=2.

答案：2

四、解答题

7.(10分)已知函数f(x)=.

(1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用定义证明.

(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，说明理由.

(参考数据：≈1.12，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807).

【解析】(1)函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数，

理由如下：令0≤x1<x2，由于f(x1)-f(x2)=-=<0，即f(x1)<f(x2)，

故函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.

(2)g(x)=+log2x-2是增函数，

因为g(1)=1+log21-2=-1<0，g(2)=+log22-2=-1>0，

所以函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点，

因为g(1.5)=+log21.5-2

≈1.225+0.585-2

=-0.19<0，

g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2

=0.13>0，所以函数的零点在(1.5，1.75)，

因为1.75-1.5=0.25<0.3，所以g(x)零点的近似值为1.5.

(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以)

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