数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）测试题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1 B．x2 

C．x3 D．x4

答案　C

解析　由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．

2．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[2,3] B．[－1,0] 

C．[0,1] D．[1,2]

答案　D

解析　由于f(1)＝－<0，f(2)＝2>0，故可以取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．

3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在的区间为(　　)

A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)

C．(1.5,2) D．不能确定

答案　A

解析　由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在的区间为(1.25,1.5)．

4．已知曲线y＝x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是(　　)

A． B． 

C． D．(1,2)

答案　A

解析　设f(x)＝x－x，则f(0)＝1>0，f＝－＝－<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2<0，显然有f(0)·f<0.

5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)

A．1.5 B．1.25 

C．1.375 D．1.4375

答案　D

解析　由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D．

二、填空题

6．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1,3)内的解，如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有解的区间是________．

答案　(1,2)

解析　设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有解的区间为(1,2)．

7．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．

答案　4

解析　设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.

8．如果一个正方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V＝S＋1，那么这个正方体的棱长(精确到0.01)约为________．

答案　6.03

解析　设正方体的棱长为x，则V＝x3，S＝6x2.∵V＝S＋1，∴x3＝6x2＋1.设f(x)＝x3－6x2－1，应用二分法得方程的近似解为6.03.

三、解答题

9．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km(大约有200多根电线杆)长的线路．

(1)如何迅速查出故障所在？

(2)算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？

解　(1)如图所示，首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可知故障在CD段，再到CD段中点E来查．依次类推……

(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，设要查n次，则≤100，得2n≥100，∴n的最小值为7.因此只要查7次就够了．

10．(本题可以用计算器计算)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整．

解：设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递________(增或减)．

先求f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________.

所以f(x)在区间________内存在零点x0，再填下表：

(可参考条件：f(1.125)<0，f(1.1875)>0；符号填＋、－)

下结论： ______________________________.

解　设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，先求f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9.所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0，再填下表：

下结论：由表得方程x3＋3x－5＝0的一个近似解是x≈1.1875.

B级：“四能”提升训练

1．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过(不能用计算器)．

解　∵f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0∈(2,3)．

取x1＝，∵f＝ln －1＝ln －ln e<0，

∴ff(3)<0，∴x0∈.

取x2＝，∵f＝ln －＝ln －ln e>0，

∴ff<0，∴x0∈.

而＝≤，

∴即为符合条件的一个区间．

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．

(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)

解　函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，

故f(x)在(1,1.5)内有零点．

又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，

所以(x＋1)(x－)(x＋)＝0，

所以f(x)在(1,1.5)内的零点为，

故精确到ε＝0.1的零点为1.4.

而根据二分法，将(1,1.5)分为(1,1.25)，(1.25,1.5)，因f(1.25)≈－0.984<0，故f(x)的零点在(1.25,1.5)内，此时区间长度为0.25>ε，继续下去，f(x)的零点在(1.375,1.4375)内，此时区间长度为0.0625<ε，此时零点的近似解可取1.375或1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．