人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念第2课时导学案

第2课时　三角函数的概念(二)

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限__正__，三四象限__负__；

余弦：一四象限__正__，二三象限__负__；

正切：一三象限__正__，二四象限__负__.

思考1：(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？

(2)三角函数值的符号有简记口诀吗？

提示：(1)三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．

(2)有；简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

知识点2　诱导公式(一)

sin(α＋k·2π)＝__sin α__，

cos(α＋k·2π)＝__cos α__，

tan(α＋k·2π)＝__tan α__，其中k∈Z.

思考2：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？

提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．

因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．

基础自测

1．sinπ等于(　A　)

A．　　 B．　　

C．－　  D．－

[解析]　由诱导公式一及特殊角的三角函数知：sin＝sin(4π＋)＝sin＝.

2．若sinα>0，tanα<0，则α为(　B　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

[解析]　由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tanα<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．

3．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC是(　C　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形

[解析]　∵A、B、C是△ABC的内角，∴sinA>0.

∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.

∴cosB和tanC中必有一个小于0.

即B、C中必有一个钝角，选C．

4．确定下列各三角函数值的符号：

(1)cos 260°；(2)sin(－)；(3)tan.

[解析]　(1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0.

(2)因为－是第四象限角，所以sin(－)<0.

(3)因为是第三象限角，所以tan>0.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　三角函数在各象限的符号

例1 (1)若cosα>0，sinα<0，则角α的终边在(　D　)

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)确定下列各式的符号：

①sin105°·cos230°；

②sin·tan.

[分析]　先确定角所在象限，进而确定各式的符号．

[解析]　(1)由cosα>0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上．由sinα<0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上．综上可得，角α的终边在第四象限．

(2)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角，

∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.

②∵<<π，

∴是第二象限角，则sin>0，tan<0.

∴sin·tan<0.

[归纳提升]　(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．

【对点练习】❶ (1)判断下列各式的符号：

①sin3·cos4·tan5；

②α是第二象限角，sinα·cosα.

(2)若cosθ<0且sinθ>0，则是第__  __象限角．(　C　)

A．一　　　　　　 B．三

C．一或三 D．任意象限角

[解析]　(1)①<3<π，π<4<，<5<2π，

∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0.

②∵α是第二象限角，

∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0.

(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是第二象限角，所以是第一或三象限角．

题型二　诱导公式一的应用

例2 计算下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；

(2)sin(－)＋cos tan 4π.

[分析]　→→

[解析]　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.

(2)原式＝sin(－2π＋)＋cos(2π＋)tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.

[归纳提升]　诱导公式一的应用思路

1．诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．

2．利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．

【对点练习】❷ 求下列各式的值．

(1)cosπ＋tan(－π)；

(2)sin810°＋tan765°－cos360°.

[解析]　(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)＝cos＋tan＝＋1＝.

(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1.

误区警示

对角的范围限定不准确

例3 已知sin＝，cos＝－，试确定角α是第几象限的角．

[错解]　因为sin＝>0，cos＝－<0，所以是第二象限的角，所以＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)，从而π＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第三或第四象限的角或终边在y轴的非正半轴上．

[错因分析]　错解中扩大了角的取值范围而导致出错．

[正解]　因为sin＝>0，cos＝－<0，所以是第二象限的角，所以＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)．由sin＝<知＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)，所以＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第四象限的角．

[方法点拨]　在确定α是第几象限的角时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α是第几象限角．

学科素养

分类讨论思想在化简三角函数式中的应用

例4 设角α的终边不在坐标轴上，求函数y＝＋＋的值域．

[解析]　当α是第一象限角时，sinα，cosα，tanα均为正值，

∴＋＋＝3.

当α是第二象限角时，sinα为正值，cosα，tanα为负值，

∴＋＋＝－1.

当α是第三象限角时，sinα，cosα为负值，tanα为正值，

∴＋＋＝－1.

当α是第四象限角时，sinα，tanα为负值，cosα为正值，

∴＋＋＝－1.

综上可知，函数y的值域为{－1,3}．

[归纳提升]　对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．

课堂检测·固双基

1．sin(－π)的值等于(　C　)

A．　　　　　　　 B．－

C． D．－

[解析]　sin(－π)＝sin(－4π＋π)＝sinπ＝，故选C．

2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在(　B　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　因为点P在第三象限，

所以tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．

3．若角α的终边过点(－5，－3)，则(　C　)

A．sinαtanα>0 B．cosαtanα>0

C．sinαcosα>0 D．sinαcosα<0

[解析]　∵角α的终边过点(－5，－3)，

∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，

∴sinαcosα>0，故选C．

4．计算：cos(－)＋sin· tan 8π.

[解析]　原式＝cos＋sin·tan(0＋8π)＝cos＋sin·tan 0

＝＋0＝.