人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念第1课时导学案

5.2　三角函数的概念

5.2.1　三角函数的概念

【素养目标】

1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学建模)

2．理解三角函数的概念．(数学抽象)

3．熟练掌握三角函数值在各象限的符号．(直观想象)

4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)

5．通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．(逻辑推理)

【学法解读】

在本节学习中利用坐标系中单位圆给出角的三角函数的定义，由三角函数定义判断出函数值符号，得出其结论“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．

第1课时　三角函数的概念(一)

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　三角函数的定义(坐标法)

如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝____.

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为__三角函数__，通常将它们记为：

思考1：(1)在初中是如何定义锐角三角函数的？

(2)如果改变α终边上点P的位置，a，b，r均会改变，那么，，这三个比值会改变吗？为什么？

提示：(1)如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．

在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0，过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，MP的长度为b，则有

sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.

(2)不会改变．如图，

sin α＝＝，sin α＝＝，其中r1＝，r2＝，

又△MOP∽△NOQ，

∴＝，∴＝，

同理可知＝，＝.

因此，，这三个比值不会改变．

知识点2　三角函数的定义(单位圆法)

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：

sin α＝y；cos α＝x；tan α＝(x≠0)．

思考2：(1)什么是单位圆？

(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点的位置的改变而改变？

提示：(1)单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆．

(2)不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．

基础自测

1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．

(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．(　×　)

(2)sinα，cosα，tanα的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．(　√　)

(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　×　)

(4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－.(　×　)

2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　D　)

A．　　　　　　　 B．

C．－ D．－

[解析]　r＝＝5，∴cos α＝＝－，故选D．

3．若角α的终边与单位圆相交于点(，－)，则sinα的值为(　B　)

A．　 B．－　 　

C．　 D．－1

[解析]　x＝，y＝－，则sinα＝y＝－.

4．已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于____.

[解析]　由三角函数的定义，tanα＝＝2，cosα＝＝，∴tanα·cosα＝.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　利用三角函数的定义求三角函数值

例1 (1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x，)，则sinα＝____，cosα＝__±__，tanα＝__±__.

(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝__－__.

(3)若角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．

[分析]　(1)先求出x的值，再计算；(2)利用三角函数的定义的推广求解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解．

[解析]　(1)依题意，x2＋()2＝1，解得x＝±，于是sinα＝，cosα＝±，tanα＝＝±.

(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，∴cosα＝＝－，解得x＝，

∴P(－，－6)，∴sinα＝－，

∴tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.

(3)设P(a，a)(a≠0)是其终边上任一点，

则tanα＝＝，r＝＝2|a|，

当a>0时，sinα＝＝，cosα＝＝；

当a<0时，sinα＝＝－，cosα＝＝－.

所以tanα＝，sinα＝，cosα＝或tanα＝，sinα＝－，cosα＝－.

[归纳提升]　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：

(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．

(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.

(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sinα＝，cosα＝.

(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．

【对点练习】❶ 已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．

[解析]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.

当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，

由r＝|OQ|＝＝，得：

sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.

题型二　三角函数概念的综合应用

例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．

[解析]　由题意知，cos α≠0.

设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，

y＝－3k，r＝＝|k|.

(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sin α＝＝＝－，＝＝＝，

所以10sin α＋＝10×(－)＋3

＝－3＋3＝0.

(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，＝＝＝－，

所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.

综上所述，10sin α＋＝0.

[归纳提升]　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.

【对点练习】❷ 已知角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，且tan θ＝－a，求sin θ，cos θ的值．

[解析]　因为角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，所以可设P(a，－1)(a≠0)为角θ终边上任意一点，则r＝(a≠0)．

又tan θ＝－a，所以－＝－a，解得a＝±1.

当a＝1时，r＝，sin θ＝－，cos θ＝；

当a＝－1时，r＝，sin θ＝－，cos θ＝－.

课堂检测·固双基

1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是(　B　)

A． B．－

C．± D．1

[解析]　利用三角函数定义知：

sin＝＝＝－.

2．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　B　)

A．(，) B．(－，)

C．(－，) D．(，－)

3．已知角α的终边与单位圆的交点为(－，y)(y<0)，则sin αtan α＝__－__.

4．已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos α＝－，则sin α＝____.

5．利用定义求sin、cos、tan的值．

[解析]　如图所示，在坐标系中画出角π的终边．

设角的终边与单位圆的交点为P，

则有P(－，－)．

∴tan＝＝1，sin＝－，cos＝－.