高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时学案设计

第2课时　诱导公式(二)

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　诱导公式五

思考1：(1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？

(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？

提示：(1)如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称．

(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)．

知识点2　诱导公式六

思考2：如何由公式四及公式五推导公式六？

提示：sin(＋α)＝sin[π－(－α)]

＝sin(－α)＝cosα，

cos(＋α)＝cos[π－(－α)]

＝－cos(－α)＝－sinα.

知识点3　对诱导公式的理解

1．对诱导公式五、六的两点说明

(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．

(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．

2．对诱导公式一～六的两点说明

(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．

(2)公式一～六的记忆口诀和说明

①口诀：奇变偶不变，符号看象限．

②说明：

思考3：六组诱导公式各有什么作用？

提示：公式一：将角化为0～2π内的角求值；

公式二：将0～2π内的角转化为0～π内的角求值；

公式三：将负角转化为正角求值；

公式四：将～π内的角转化为0～内的角求值；

公式五、公式六：实现正弦与余弦的相互转化．

基础自测

1．已知sinα＝，则sin(＋α)的值为(　D　)

A．－ B．－

C． D．±

[解析]　∵sinα＝，∴cosα＝±，

∴sin(＋α)＝cosα＝±，故选D．

2．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝(　B　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　因为sin(π＋α)＝sin(2π＋＋α)＝sin(＋α)＝－cosα，所以cosα＝－，故选B．

3．下列与sin(θ－)的值相等的式子为(　D　)

A．sin(＋θ) B．cos(＋θ)

C．cos(－θ) D．sin(＋θ)

[解析]　sin(θ－)＝－sin(－θ)＝－cosθ.对于A，sin(＋θ)＝cosθ；对于B，cos(＋θ)＝－sinθ；对于C，cos(－θ)＝cos[π＋(－θ)]＝－cos(－θ)＝－sinθ；对于D，sin(＋θ)＝sin[π＋(＋θ)]＝－sin(＋θ)＝－cosθ.故选D．

4．化简：1＋cos(＋α)·sin(－α)·tan(π＋α)＝__cos2α__.

[解析]　原式＝1－sinα·cosα·tanα＝1－sin2α＝cos2α.

5．化简：＝__－sinα__.

[解析]　∵π－α＝π＋－α，π＋α＝π＋＋α，

∴原式＝＝－sinα.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　利用诱导公式进行化简、求值

例1 计算：

(1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；

(2).

[分析]　利用诱导公式，先化简再求值．

[解析]　(1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝－1＋1－＋＝.

(2)原式＝

＝＝

＝＝＝.

[归纳提升]　利用诱导公式化简三角函数式的步骤

用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即

口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．

【对点练习】❶ .

[解析]　原式

＝

＝＝＝.

题型二　三角恒等式的证明

例2 求证：

＝.

[分析]　

.

[证明]　左边＝

＝

＝

＝＝＝.

右边＝＝＝.

∴左边＝右边，故原式得证．

[归纳提升]　对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

【对点练习】❷ 求证：

＝－1.

[证明]　左边＝

＝＝＝－1＝右边，

故原式得证．

题型三　诱导公式与函数结合的运用

例3 已知f(α)

＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．

[分析]　解答此题的关键是利用诱导公式对f(α)进行化简，进而利用cos(α－)＝，求出cosα的值以达到求f(α)的目的．

[解析]　(1)f(α)

＝

＝＝－cosα.

(2)因为cos(α－)＝－sinα＝，

所以sinα＝－，

又α是第三象限角，

所以cosα＝－＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.

[归纳提升]　用诱导公式化简求值的方法

(1)解决与函数有关问题的关键就是利用诱导公式对表达式进行化简．

(2)运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象限的符号．

【对点练习】❸ 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点(m，)．

(1)求tanα的值；

(2)求的值．

[解析]　(1)由题得m2＋()2＝1，所以m＝±，

因为角α的终边在第二象限，所以m＝－.

所以tanα＝＝－2.

(2)＝

＝＝＝－.

误区警示

对诱导公式理解不透彻而致错

例4 已知sin(x＋)＝，则sin(－x)＋sin2(－x)＝____.

[错解]　∵sin(x＋)＝，

∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，

∴sin(－x)＋sin2(－x)

＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]

＝－sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]

＝－＋[1－()2]＝.

[错因分析]　在利用诱导公式sin(π－α)时，没能正确利用“符号看象限”来判断符号．

[正解]　∵sin(x＋)＝，

∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，

∴sin(－x)＋sin2(－x)

＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]

＝sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]

＝＋[1－()2]＝.

[方法点拨]　利用诱导公式解题时，只有在利用诱导公式时才视公式中的角为锐角，变换前后原来是什么角就是什么角．

学科素养

分类讨论思想在三角函数化简中的应用

例5 化简：sin＋cos(n∈Z)．

[分析]　(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．

[解析]　当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，

则原式＝sin＋cos

＝sin[2kπ＋(－－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]

＝sin(－－α)＋cos(－α)

＝－sin(＋α)＋cos[－(＋α)]

＝－sin(＋α)＋sin(＋α)＝0.

当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，

则原式＝sin＋cos

＝sin[2kπ＋(－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]

＝sin(－α)＋cos(－α)

＝sin[π－(＋α)]＋cos[π＋(－α)]

＝sin(＋α)－cos(－α)

＝sin(＋α)－cos[－(＋α)]

＝sin(＋α)－sin(＋α)＝0.

故sin(π－α)＋cos(π－α)＝0.

[归纳提升]　1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．

2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．

课堂检测·固双基

1．若cos65°＝a，则sin25°的值是(　B　)

A．－a B．a

C． D．－

[解析]　sin 25°＝sin(90°－65°)＝cos 65°＝a.

2．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是(　B　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

[解析]　因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．

3．已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是(　B　)

A． B．－

C．± D．

[解析]　∵cos＝－，

∴－sinα＝－，∴sinα＝，

又α是第二象限角，∴cosα＝－，

∴sin＝cosα＝－.

4．若α∈(π，)，则＝(　B　)

A．sinα B．－sinα

C．cosα D．－cosα

[解析]　∵α∈(π，π)，∴sinα<0，

∴＝＝－sinα.

5．(2019·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(　A　)

A．－ B．－

C．－ D．－4

[解析]　∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，

∴由三角函数的定义知sinα＝，cosα＝.

∵

＝＝＝－.

∴选A．