高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词同步练习题

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

必备知识基础练

1.写出下列全称量词命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.

2．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假．

(1)p：∀x＞0，x＋≥2；

(2)p：所有矩形的对角线相等；

(3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根．

3.写出下列存在量词命题p的否定，并判断其否定的真假．

(1)p：∃x>1，x2－2x－3＝0；

(2)p：有些自然数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．

(1)有的素数是偶数；

(2)∃x∈R，使x2＋x＋<0；

(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

关键能力综合练

一、选择题

1．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)

A．有些三角形不是等腰三角形

B．所有三角形是等边三角形

C．所有三角形不是等腰三角形

D．所有三角形是等腰三角形

2．已知命题p：∀x>0，(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)

A．∃x≤0，(x＋1)ex≤1  B．∃x＞0，(x＋1)ex≤1

C．∀x＞0，(x＋1)ex≤1  D．∀x≤0，(x＋1)ex≤1

3．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　)

A．∃x∉∁RQ，x3∈Q  B．∃x∈∁RQ，x3∉Q

C．∀x∉∁RQ，x3∈Q  D．∀x∈∁RQ，x3∉Q

4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A．命题綈p是真命题

B．命题p是存在量词命题

C．命题p是全称量词命题

D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题

5．下列四个命题中的真命题为(　　)

A．∃x∈Z,1＜4x＜3  B．∃x∈Z,5x＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0  D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0

6．(易错题)对下列命题的否定说法错误的是(　　)

A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.

二、填空题

7．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________．

8．若命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

9．(探究题)已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．

三、解答题

10．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0.

学科素养升级练

1．(多选题)已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围可以是(　　)

A．a<1  B．0≤a≤4

C．1≤a≤3   D．0<a<4

2．给出下列命题：

①∀x∈R，x2>0；

②∃x∈R，x2＋x＋1≤0；

③∀x<3，函数y＝有意义；

④∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.

其中是真命题的个数为________．

3．(情境命题—学术情境)已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

必备知识基础练

1．解析：(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．

(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．

(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1＜0.

2．解析：(1)綈p：∃x＞0，x＋＜2.假命题．

(2)綈p：有的矩形的对角线不相等．假命题．

(3)綈p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题．

3．解析：(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假)．

(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．(假)．

(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．(假)．

4．解析：(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．

(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.

(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.

关键能力综合练

1．解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.

答案：C

2．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p为∃x＞0，(x＋1)ex≤1.故选B.

答案：B

3．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D.

答案：D

4．解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.

答案：C

5．解析：1＜4x＜3，＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题；5x＋1＝0，x＝－∉Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝2＋＞0，故选D.

答案：D

6．解析：C中綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．

答案：C

7．答案：∃x∈R，x2－x＋3≤0　∀x∈R，x2＋1≥0

8．解析：因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.

答案：

9．解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题．

∴解得3≤m＜8.

答案：3≤m<8

10．解析：(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋<0，假命题．

∵∀x∈R，x2－x＋＝2≥0，

∴綈p是假命题．

(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题．

(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，

∴綈r是真命题．

学科素养升级练

1．解析：∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－2<a－2<2，即0<a<4，故CD均符合．

答案：CD

2．解析：①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝2＋≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．

答案：1

3．解析：因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，

由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．

事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；

当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，

即－3≤a<0；

综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．