高中1.5 全称量词与存在量词课后测评

课时素养评价 九

全称量词命题和存在量词命题的否定

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (　　)

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题，其否定一定是一个存在量词命题，故排除A，B，结合全称量词命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.

2.(2020·潍坊高一检测)命题“∃x∈(0，+∞)，x+≥3”的否定是              (　　)

A.∃x∈(0，+∞)，x+≤3

B.∃x∈(0，+∞)，x+<3

C.∀x∈(0，+∞)，x+<3

D.∀x∈(0，+∞)，x+≤3

【解析】选C.命题“∃x∈(0，+∞)，x+≥3”的否定是：否定存在量词和结论，故为：∀x∈(0，+∞)，x+<3.

3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是 (　　)

①所有能被3整除的数都能被6整除；

②所有实数的绝对值是正数；

③三角形的外角至少有两个钝角.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.①该命题的否定：存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除，不能被6整除的数，这是一个真命题；②该命题的否定：∃x=0∈R，|0|=0，不是正数，这是一个真命题；③该命题的否定：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角，这是一个假命题.

4.命题“至少有一个正实数x满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是_______. 

【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定.

答案：所有正实数x都不满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0

【补偿训练】

　　　命题“∃x>-1，x2+x-2 019>0”的否定是_______. 

【解析】该命题的否定是“∀x>-1，x2+x-2 019≤0”.

答案：∀x>-1，x2+x-2 019≤0

5.写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)直角相等.

(2)等圆的面积相等，周长相等.

(3)有的三角形为正三角形.

(4)∀x>0，x+1>.

【解析】(1)该命题的否定：有些直角不相等.这是一个假命题.

(2)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.

(3)该命题的否定：所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.

(4)该命题的否定：∃x>0，使x+1≤.

因为x+1-=+>0，所以∀x>0，x+1>是真命题，它的否定是假命题.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.“对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是                                                                                                                                                                                                                                                                                        (　　)

A.对于任意a≤0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根

B.对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根

C.存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根

D.存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根

【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”，另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.

2.已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是              (　　)

A.a<1  B.a>3

C.a≤3 D.a≥3

【解析】选D.p是真命题，所以p是假命题；

所以∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0无解；

所以当1<x<3时，a≤x不成立，所以a≥3.

3.命题“∀a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是 (　　)

A.∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一

B.∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一

C.∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在

D.∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在

【解析】选D.该命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.

【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.(2020·济南高一检测)下列命题正确的是 (　　)

A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件

B.命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”

C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件

D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件

【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”，但是当<1时，a有可能是负数，所以“<1”推不出“a>1”，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件；B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3，y=3时，x2+y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.

D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为_______，此命题的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命题. 

【解析】此命题用符号表示为∃x，y∈R，x+y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1，

原命题为真命题，所以它的否定为假命题.

答案：∃x，y∈R，x+y>1　∀x，y∈R，x+y≤1　假

6.命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2”的否定是___________. 

【解析】该命题的否定：存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2.

答案：存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2

四、解答题

7.(10分)已知集合A=，集合B=，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围.

【解析】因为“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，所以它的否定“∀m∈R，使得A∩B=∅”为真命题，当a<0时，A==∅，符合A∩B=∅；当a≥0时，因为m2+3>0，所以由∀m∈R，A∩B=∅可得a<m2+3，对于∀m∈R恒成立，因为m2+3≥3，所以0≤a<3.

综上，实数a的取值范围为a<3.

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